4.6. Решение прямоугольных треугольников

Определения и обозначения

Катет — сторона прямоугольного треугольника, прилежащая к прямому углу; два катета образуют этот угол. Иначе говоря, это две стороны, которые сходятся в вершине прямого угла. Катеты удобно обозначать a и b, а их положение относительно выбранного острого угла помогает выбрать нужную формулу.

Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла; она является самой длинной стороной. Её часто обозначают c. Чтобы определить гипотенузу на чертеже, сначала найди прямой угол, а затем посмотри на сторону, которая не касается его вершины.

Синус, косинус и тангенс острого угла — отношения сторон прямоугольного треугольника, позволяющие находить неизвестные стороны и углы. Для угла α синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, косинус — прилежащего катета к гипотенузе, а тангенс — противолежащего катета к прилежащему. Эти отношения нужны, когда известна сторона и требуется использовать угол, чтобы найти другую сторону или сам угол.

Решение прямоугольного треугольника — нахождение его неизвестных сторон и углов по известным элементам. Например, если известны два катета, можно найти гипотенузу и углы. Умение решать такой треугольник пригодится для вычисления расстояний и высот, которые напрямую измерить трудно.

Как это устроено

В прямоугольном треугольнике один угол уже известен: он равен 90°. Поэтому из двух других углов достаточно знать один, чтобы определить второй, ведь сумма углов любого треугольника равна 180°. Если же известна одна сторона и один острый угол, тригонометрические отношения позволяют вычислить остальные стороны. Значит, двух элементов, среди которых есть сторона, достаточно для полного решения.

Если известны две стороны, часто помогает теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, c² = a² + b². Она связывает длины сторон независимо от величины острых углов. Если даны оба катета, для гипотенузы извлекают квадратный корень из суммы их квадратов. Если даны гипотенуза и катет, квадрат второго катета находят вычитанием: a² = c² − b².

Чтобы выбрать между синусом, косинусом и тангенсом, сначала отметь острый угол, относительно которого ведётся решение. Противолежащий катет находится напротив этого угла, а прилежащий — касается его и не является гипотенузой. Если нужны противолежащий катет и гипотенуза, подходит синус; если прилежащий катет и гипотенуза — косинус. Тангенс связывает два катета, поэтому его удобно использовать, когда гипотенуза не участвует в вычислении.

Если известны стороны, можно сначала составить отношение, а затем найти соответствующий острый угол с помощью обратной тригонометрической функции на калькуляторе. Например, если противолежащий катет равен 5, а гипотенуза — 13, то sin α = 5/13, откуда α примерно равен 22,6°. Второй острый угол равен 90° − α: именно столько остаётся до прямого угла, поскольку сумма всех углов треугольника равна 180°. Убедись, что калькулятор настроен на градусы.

После вычислений проверь, что гипотенуза длиннее каждого катета и что стороны приблизительно удовлетворяют теореме Пифагора. Проверь и углы: два острых должны в сумме дать 90°, а все три угла — 180°. При округлении оставляй запас цифр в промежуточных вычислениях и округляй окончательный ответ до требуемой точности. Такая проверка помогает заметить неверно выбранную сторону или ошибку при вводе данных.

Основные случаи решения прямоугольного треугольника

Сначала соотнеси условие с первым столбцом, затем найди подходящую зависимость. В формулах для синуса, косинуса и тангенса обязательно учитывай, где стороны расположены относительно угла. Если неизвестны и стороны, и углы, после вычисления сторон определи один острый угол, а затем второй.

Разбор задач

Даны катеты прямоугольного треугольника 6 см и 8 см. Найдите гипотенузу и острые углы.

1. Обозначим катеты a = 6 см и b = 8 см, гипотенузу — c. По теореме Пифагора c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, значит, c = 10 см.
2. Пусть α лежит напротив катета 6 см. Тогда sin α = 6/10 = 0,6, откуда α примерно равен 36,9°. Здесь используем синус, потому что известны противолежащий катет и гипотенуза.
3. Второй острый угол β = 90° − 36,9° = 53,1°. Проверка: 6² + 8² = 10², а оба катета короче гипотенузы.

Ответ: гипотенуза 10 см, острые углы примерно 36,9° и 53,1°.

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, один катет — 5 см. Найдите второй катет и оба острых угла.

1. Обозначим второй катет a. По теореме Пифагора a² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, поэтому a = 12 см. Полученное значение меньше гипотенузы, как и должно быть.
2. Пусть α лежит напротив катета 5 см. Тогда sin α = 5/13, откуда α примерно равен 22,6°. Можно также найти угол через косинус или тангенс, если правильно выбрать стороны.
3. Второй угол β = 90° − 22,6° = 67,4°. Проверим стороны: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13².

Ответ: второй катет 12 см, острые углы примерно 22,6° и 67,4°.

Лестница длиной 5 м образует с горизонтальной площадкой угол 68°. Найдите высоту, на которую она опирается, и расстояние от стены до основания лестницы.

1. Стена и горизонтальная площадка перпендикулярны, поэтому они вместе с лестницей образуют прямоугольный треугольник. Лестница — гипотенуза длиной 5 м, а угол 68° расположен у основания. Высота стены находится напротив этого угла, расстояние до стены — рядом с ним.
2. Для высоты используем синус: sin 68° = h/5, поэтому h = 5 · sin 68° ≈ 4,6 м. Синус подходит, потому что связывает противолежащий катет с гипотенузой.
3. Для расстояния d используем косинус: cos 68° = d/5, поэтому d = 5 · cos 68° ≈ 1,9 м. Косинус связывает прилежащий катет с гипотенузой.
4. Обе длины положительны и меньше 5 м — длины лестницы. По смыслу при большом угле к площадке вертикальная высота должна быть больше горизонтального расстояния, и 4,6 м больше 1,9 м.

Ответ: высота примерно 4,6 м, расстояние от стены до основания лестницы примерно 1,9 м.

Типичные ошибки

• Гипотенузой называют просто самую длинную сторону. Такую сторону действительно можно заметить по длине, но в определении главное — она лежит напротив прямого угла. Найди прямой угол на чертеже и проверь, что выбранная сторона не касается его вершины.
• Подставляют стороны в синус, косинус или тангенс, не учитывая угол. Названия «противолежащий» и «прилежащий» меняются, если выбрать другой острый угол. Перед записью формулы отметь выбранный угол и определи положение сторон относительно него.
• К 90° прибавляют первый острый угол, чтобы найти второй. Так сумма углов получится больше прямого угла, хотя два острых угла должны вместе составлять 90°. Проверь действие по формуле β = 90° − α.
• Не проверяют полученные длины. Из-за ошибки в вычитании или вычислении можно получить катет длиннее гипотенузы либо нарушить теорему Пифагора. Подставь найденные стороны в равенство a² + b² = c² и сравни длины: каждый катет должен быть короче гипотенузы.

Связь с другими темами

Перед решением прямоугольных треугольников нужно знать теорему Пифагора, сумму углов треугольника и определения синуса, косинуса и тангенса острого угла. Эти знания объединяются в одном способе находить неизвестные элементы по известным. Тема пригодится при вычислении расстояний и высот по длине и углу, а также в задачах на подобие треугольников. Позже те же приёмы будут использоваться в тригонометрии, стереометрии и практических измерениях.

Что запомнить

• Гипотенуза лежит напротив прямого угла и длиннее каждого катета.
• Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
• Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе.
• Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
• Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему.
• Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
• После решения нужно проверить соответствие найденных величин геометрическому смыслу.