"Геометрия", Мерзляк А.Г., Поляков В.М.; под ред. Подольского В.Е.
Многоугольник — часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной. У него одинаковое число сторон и вершин, а отрезки между несоседними вершинами называют диагоналями. Многоугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми; это зависит от положения фигуры относительно прямых, содержащих её стороны. Умение распознавать элементы многоугольника нужно для обозначения фигур, вычисления периметра, изучения треугольников, четырёхугольников и площадей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многоугольник — часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной. Замкнутая ломаная начинается и заканчивается в одной точке, а её звенья не продолжаются бесконечно. Это определение помогает отличить многоугольник от незамкнутой ломаной и понять, какая область считается фигурой.
Сторона многоугольника — звено ограничивающей его замкнутой ломаной, а вершины — концы сторон. Обычно вершины обозначают заглавными латинскими буквами, например A, B, C. Стороны записывают по концам: AB, BC, CD; по ним описывают форму фигуры и находят периметр.
Диагональ многоугольника — отрезок, соединяющий две его несоседние вершины. Например, в многоугольнике ABCDE отрезок AC является диагональю, а AB — стороной. Диагонали позволяют соединять удалённые вершины и разбивать многоугольник на треугольники.
Выпуклый многоугольник — многоугольник, лежащий по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону. У него нет «впадин», направленных внутрь фигуры. Это свойство нужно, чтобы отличать обычные выпуклые фигуры от невыпуклых и правильно работать с их диагоналями.
Замкнутая ломаная образуется, когда последовательно соединяют точки отрезками и последний отрезок возвращает нас в начальную точку. Получившаяся граница разделяет плоскость на внутреннюю и внешнюю части; многоугольником называют внутреннюю область вместе с границей. При обходе границы каждая сторона встречается один раз, а каждая вершина служит концом двух соседних сторон, поэтому их количества совпадают.
Чтобы отличить сторону от диагонали, сначала нужно выписать вершины по порядку их расположения на границе. Две соседние в этой записи вершины соединены стороной, потому что между ними есть одно звено ломаной. Если между вершинами на границе есть хотя бы одна другая вершина, они несоседние, а соединяющий их отрезок является диагональю.
Диагонали соединяют только несоседние вершины, иначе отрезок совпал бы со стороной. Из одной вершины нельзя провести отрезок к ней самой и к двум соседним вершинам, поэтому в n-угольнике остаётся n − 3 диагонали. Чтобы получить общее число, умножают это количество на n, но делят на 2: каждая диагональ имеет две конечные вершины и была бы посчитана дважды.
У выпуклого многоугольника при проверке любой стороны вся остальная часть фигуры находится по одну сторону от прямой, содержащей эту сторону. У невыпуклого многоугольника есть хотя бы одна сторона, для которой часть фигуры расположена по другую сторону такой прямой. На рисунке выпуклая фигура не имеет углублений, а во невыпуклой заметен внутренний угол, словно направленный внутрь.
Многоугольник обозначают заглавными буквами, записывая вершины по порядку обхода: ABCD или BCDA обозначают одну и ту же фигуру, если обход идёт в одном направлении. Периметр P — это длина всей границы, поэтому его находят сложением длин всех сторон: P = a₁ + a₂ + ... + aₙ. Единицы длины у всех слагаемых должны быть одинаковыми.
| Признак или элемент | Что означает | Как распознать или найти |
|---|---|---|
| Вершины | Концы сторон многоугольника | Отметить точки, в которых встречаются два звена ломаной |
| Стороны | Звенья замкнутой ломаной | Соединяют соседние вершины |
| Диагонали | Отрезки между несоседними вершинами | Соединить вершины, между которыми есть другие вершины |
| Число сторон и вершин | Количество звеньев и точек границы | Посчитать стороны или вершины: числа равны |
| Выпуклый многоугольник | Фигура по одну сторону от прямой каждой своей стороны | Проверить все стороны; углублений нет |
| Невыпуклый многоугольник | Фигура, нарушающая это свойство хотя бы для одной стороны | Найти сторону, прямая которой разделяет фигуру |
| Периметр | Сумма длин всех сторон | Сложить длины сторон в одинаковых единицах |
Пользуйтесь таблицей как алгоритмом: сначала определите вершины и стороны, затем проверьте пары вершин на соседство. Для вида фигуры исследуйте положение относительно прямых, а периметр находите обычным сложением длин границы.
При обозначении буквами сохраняйте порядок вершин по границе. Это помогает не перепутать сторону с диагональю и не пропустить элемент при подсчёте.
Задача 1. На рисунке дан шестиугольник ABCDEF. Назвать его стороны, вершины и диагонали.
Ответ: вершины A, B, C, D, E, F; стороны AB, BC, CD, DE, EF, FA; диагонали AC, AD, AE, BD, BE, BF, CE, CF, DF.
Задача 2. Сколько диагоналей можно провести из одной вершины и сколько всего диагоналей имеет восьмиугольник?
Ответ: из одной вершины можно провести 5 диагоналей, всего у восьмиугольника 20 диагоналей.
Задача 3. Периметр пятиугольника равен 38 см. Четыре стороны имеют длины 7 см, 8 см, 9 см и 6 см. Найти пятую сторону и определить, может ли пятиугольник быть выпуклым.
Ответ: пятая сторона равна 8 см; пятиугольник может быть выпуклым.
Отрезок между соседними вершинами иногда называют диагональю. Так происходит, потому что любой отрезок внутри фигуры кажется «дополнительным». Проверьте, есть ли между концами отрезка другая вершина: если нет, это сторона.
Одну диагональ могут посчитать дважды — сначала из одной конечной вершины, потом из другой. Причина в том, что подсчёт «из каждой вершины» не устраняет повторения. Для проверки разделите полученный результат на 2 или сразу используйте формулу n(n − 3) : 2.
Иногда путают число сторон с числом диагоналей или считают только отрезки, которые находятся внутри фигуры. Сначала установите число вершин, а затем определяйте пары соседних и несоседних вершин. У невыпуклого многоугольника диагональ действительно может частично проходить вне фигуры.
Любой многоугольник могут назвать выпуклым, если он выглядит почти обычным. Но нужно проверить не одну, а каждую сторону и соответствующую ей прямую. Если фигура хотя бы для одной стороны оказывается по обе стороны от прямой, она невыпуклая.
Для изучения многоугольников нужны понятия отрезка, вершины, угла, ломаной и смежных элементов. Без них трудно определить границу фигуры и соседство вершин.
Многоугольники являются общей основой для тем о треугольниках и четырёхугольниках. Периметры и свойства многоугольников также понадобятся при изучении площадей фигур.
Диагонали помогают разбивать многоугольники на треугольники, а выпуклость показывает, как именно будут располагаться полученные части. Эти идеи используются при выводе формул и решении геометрических задач.
Почему отрезок между соседними вершинами не является диагональю?
Соседние вершины уже соединены стороной — звеном замкнутой ломаной. Диагональю называют только отрезок между несоседними вершинами.
Как быстро найти число диагоналей многоугольника?
Из одной вершины можно провести n − 3 диагонали: нельзя соединять её с самой собой и с двумя соседними вершинами. Общее число диагоналей равно n(n − 3) : 2, потому что каждую диагональ при подсчёте из вершин считают дважды.
Может ли диагональ проходить вне многоугольника?
Да, у невыпуклого многоугольника некоторые диагонали могут частично выходить за его границу. У выпуклого многоугольника каждая диагональ целиком лежит внутри фигуры.
Как отличить выпуклый многоугольник от невыпуклого?
Проверьте каждую сторону: если весь многоугольник лежит по одну сторону от прямой, содержащей эту сторону, он выпуклый. Если хотя бы для одной стороны части фигуры оказываются по разные стороны прямой, многоугольник невыпуклый.
Почему у многоугольника число сторон равно числу вершин?
Каждая сторона является звеном замкнутой ломаной и имеет две конечные вершины. При обходе фигуры после каждой вершины начинается следующая сторона, поэтому замыкание ломаной даёт одинаковое количество сторон и вершин.
§ 19. Многоугольники
