§ 13. Многоугольники

Определения и обозначения

Ломаная линия образуется из отрезков, которые последовательно соединены концами. Каждый отрезок называют звеном, а общую точку двух соседних звеньев — вершиной ломаной. Например, в ломаной ABC звенья AB и BC встречаются в вершине B. Эти слова помогают описывать, из каких частей состоит линия.

Многоугольник — часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной. Звенья этой ломаной называют сторонами многоугольника, а точки соединения звеньев — его вершинами. Многоугольник обозначают буквами вершин в порядке обхода, например ABCD. Такое обозначение позволяет точно указать фигуру и её элементы.

Диагональ многоугольника — отрезок, который соединяет две его вершины, не являющиеся соседними. Например, в четырёхугольнике ABCD отрезок AC — диагональ, если вершины перечислены по порядку. Диагонали нужны, чтобы разделять многоугольник на более простые фигуры.

Выпуклый многоугольник — многоугольник, целиком лежащий по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону. Если провести такую прямую вдоль любой стороны, фигура не окажется по обе стороны от неё. Это определение помогает отличать выпуклые многоугольники от невыпуклых.

Как это устроено

Чтобы получить многоугольник, ломаная должна быть замкнутой: её конец соединяется с началом, и граница окружает часть плоскости. Если линия не замкнута, она не отграничивает такую часть. Для простого многоугольника ломаная не должна пересекать сама себя: иначе граница запутается, а области внутри будут устроены неоднозначно. Поэтому, определяя многоугольник, проверяют и замкнутость, и отсутствие самопересечений.

Название многоугольника зависит от числа его сторон: три стороны дают треугольник, четыре — четырёхугольник, пять — пятиугольник. Каждое звено ломаной заканчивается там, где начинается следующее, поэтому соседние стороны встречаются в вершинах. При обходе замкнутой ломаной каждой стороне соответствует очередная вершина. Значит, сторон и вершин у многоугольника поровну.

Соседними называют вершины, соединённые одной стороной; остальные вершины несоседние. Сторона связывает соседние вершины, а диагональ — только несоседние, поэтому эти отрезки нельзя путать. У треугольника каждая пара вершин соседняя: все пары уже соединены сторонами. Следовательно, провести отрезок между несоседними вершинами треугольника невозможно, и диагоналей у него нет.

Выпуклость можно проверять по прямым, содержащим стороны: при каждой такой проверке многоугольник должен оставаться по одну сторону от прямой. Есть и равносильный способ для выпуклой фигуры: отрезок между любыми двумя её точками целиком лежит внутри неё или на границе. Если найдутся две точки, соединяющий их отрезок выйдет за границу, фигура невыпуклая. Эти проверки позволяют оценить не только внешний вид, но и свойства фигуры.

Из выбранной вершины выпуклого многоугольника проводят диагонали ко всем несоседним вершинам. К двум соседним вершинам уже ведут стороны, а к самой выбранной вершине отрезок не проводят. Диагонали разделяют фигуру на треугольники, потому что каждая область между соседними диагоналями и сторонами имеет три стороны. В выпуклом n-угольнике получается n − 2 треугольника: например, в семиугольнике — пять.

Элементы и признаки многоугольника

Найдите в таблице строку с нужным числом сторон, чтобы сразу определить число вершин и диагоналей из одной вершины. Признак выпуклости проверяют для каждой стороны, а не только для одной выбранной. Для n-угольника запись n − 3 показывает, сколько вершин несоседние с выбранной.

Разбор задач

Задача 1. Дана замкнутая ломаная с шестью вершинами. Назовите полученный многоугольник, укажите его стороны и вершины. Чтобы не пропустить сторону, сначала запишем вершины по порядку обхода: A, B, C, D, E, F. После последней вершины ломаная возвращается в A.

1. Считаем звенья: их шесть, потому что последняя сторона соединяет F и A.
2. Многоугольник с шестью сторонами называется шестиугольником.
3. Записываем стороны по порядку: AB, BC, CD, DE, EF, FA. Вершины фигуры — A, B, C, D, E, F.

Ответ: шестиугольник ABCDEF; его стороны AB, BC, CD, DE, EF, FA, вершины A, B, C, D, E, F. Последняя сторона FA нужна, чтобы учесть замыкание ломаной.

Задача 2. В пятиугольнике ABCDE перечислите все диагонали. Считаем вершины соседними, если они стоят рядом в записи, включая последнюю E и первую A. Диагонали соединяют только несоседние вершины, поэтому стороны в ответ не попадут.

1. Из A можно провести диагонали к C и D: AB и AE — стороны.
2. Из B добавляем BD и BE; BA и BC — стороны.
3. Из C добавляем CE; CA уже учтена как AC, а CB и CD — стороны.
4. Из D и E новых диагоналей не появляется: они уже записаны с другого конца.

Ответ: AC, AD, BD, BE, CE. Каждая диагональ названа один раз, хотя соединяет две вершины.

Задача 3. Из одной вершины выпуклого семиугольника проведите все диагонали и определите, на сколько треугольников они его разбивают. Обозначим вершины по порядку A, B, C, D, E, F, G и выберем вершину A. Две соседние вершины — B и G, поэтому диагонали к ним не проводят.

1. Соединяем A со всеми несоседними вершинами: C, D, E и F. Получаем диагонали AC, AD, AE, AF.
2. Эти четыре диагонали вместе со сторонами разбивают выпуклый семиугольник на области-треугольники.
3. Считаем их по порядку: ABC, ACD, ADE, AEF, AFG. Всего получилось пять.

Ответ: диагонали AC, AD, AE, AF; они делят семиугольник на 5 треугольников. При подсчёте нужно использовать порядок вершин и учитывать, что фигура выпуклая.

Типичные ошибки

Считать сторону диагональю. Так ошибаются, когда замечают, что отрезок соединяет две вершины, но не проверяют, соседние ли они. Сторона соединяет соседние вершины, а диагональ — несоседние. Проверьте, проходит ли между этими вершинами по границе одна сторона: если да, это не диагональ.

Принимать за диагональ любой отрезок из вершины. Отрезок может идти к точке внутри фигуры или к точке, которая вообще не является вершиной. Диагональ обязана соединять две вершины одного многоугольника. Перед записью ответа проверьте оба конца отрезка и убедитесь, что они несоседние вершины.

Учитывать каждую диагональ дважды. Например, AC можно заметить и при рассмотрении вершины A, и при рассмотрении вершины C. Это один и тот же отрезок, а не две разные диагонали. Чтобы проверить список, записывайте каждую пару букв только один раз.

Считать любой многоугольник выпуклым. Внешне фигура может быть похожа на обычный многоугольник, хотя часть её границы вогнута внутрь. У невыпуклой фигуры найдутся точки, отрезок между которыми выйдет за пределы многоугольника. Проверяйте положение относительно прямых сторон или проверьте, остаются ли отрезки между точками внутри фигуры.

Связь с другими темами

Для работы с многоугольниками нужно распознавать точки, отрезки и углы, а также понимать слово «соседние». Эти знания помогают правильно читать обозначения вершин и отличать стороны от диагоналей. Без них трудно описать фигуру и перечислить её элементы.

Стороны и вершины уже знакомы по треугольникам, а теперь те же понятия применяются к фигурам с большим числом сторон. Диагонали связывают вершины и помогают изучать четырёхугольники и другие многоугольники. Разбиение выпуклой фигуры на треугольники пригодится при дальнейшем изучении суммы её углов.

Что запомнить

• У многоугольника число сторон равно числу вершин.
• Стороны многоугольника — звенья замкнутой ломаной.
• Диагональ соединяет две несоседние вершины.
• У треугольника диагоналей нет.
• Выпуклый многоугольник лежит по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону.
• Диагонали из одной вершины выпуклого многоугольника делят его на треугольники.