§ 19. Многоугольники

Определения и обозначения

Ломаная — это фигура из нескольких отрезков, соединённых последовательно концами: конец одного отрезка является началом следующего. Если начало первого отрезка совпадает с концом последнего, ломаная называется замкнутой. Замкнутость нужна, чтобы отрезки образовали непрерывную границу фигуры, а не путь с открытыми концами.

Многоугольник — фигура, граница которой образована замкнутой ломаной без самопересечений, вместе с ограниченной этой ломаной частью плоскости. Отрезки ломаной называются сторонами, а точки их соединения — вершинами. Это определение помогает отличить многоугольник от просто замкнутой линии и точно определить, какая область плоскости входит в фигуру.

Многоугольник называется выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две его точки, целиком принадлежит этому многоугольнику. Иными словами, такой отрезок не выходит за границу фигуры. Критерий позволяет определить выпуклость не только по внешнему виду, но и проверкой расположения отрезков.

Диагональ многоугольника — отрезок, соединяющий две его вершины, не являющиеся соседними. Соседние вершины уже соединены стороной, поэтому отрезок между ними диагональю не называют. Это различие нужно, чтобы правильно перечислять элементы многоугольника и не путать стороны с диагоналями.

Как это устроено

У замкнутой ломаной каждый отрезок продолжает предыдущий, а последний соединяется с первым. Но одной замкнутости недостаточно: если ломаная пересекает себя, её части накладываются или проходят друг через друга. Тогда она не задаёт обычную единую границу фигуры, поэтому для многоугольника требуется отсутствие самопересечений.

Многоугольник называют по числу его сторон: например, фигура с тремя сторонами — треугольник, с четырьмя — четырёхугольник, с пятью — пятиугольник. При обходе границы от одной вершины к следующей каждый раз проходит одна сторона. Поскольку граница замыкается, последняя сторона возвращает обход к первой вершине, так что число сторон совпадает с числом вершин.

Чтобы отличить выпуклый многоугольник от невыпуклого, возьмите любые две точки фигуры и мысленно соедините их отрезком. В выпуклом многоугольнике каждый такой отрезок целиком остаётся внутри фигуры или на её границе. Если для какой-либо пары точек отрезок выходит наружу, условие нарушено и многоугольник невыпуклый; поэтому одной проверки «на глаз» по форме углов недостаточно.

Соседние вершины стоят рядом при последовательном обходе границы и соединены стороной. Например, в пятиугольнике ABCDE вершины A и B соседние, потому что AB — одна из сторон. Вершины A и C не соседние, поэтому отрезок AC является диагональю; это правило позволяет не называть диагональю любой отрезок между вершинами.

Периметр многоугольника — общая длина его границы. Чтобы его найти, складывают длины всех сторон, проходя границу один раз и учитывая каждую сторону ровно один раз. Такой способ подходит для любого многоугольника, даже если его стороны имеют разную длину.

Основные элементы и характеристики многоугольника

При работе с таблицей сначала определите, о каком элементе или свойстве идёт речь, а затем используйте признак из последнего столбца. Например, чтобы проверить, является ли отрезок диагональю, сравните его концы с соседством вершин. Для нахождения периметра понадобятся длины всех сторон.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке дана замкнутая ломаная. Определите, задаёт ли она многоугольник, и назовите его вершины и стороны. Поскольку конкретный рисунок не приведён, решение показывает порядок проверки, который применяют к любой такой задаче. Вершины удобно перечислять в порядке обхода ломаной.

1. Проверьте, что начало ломаной совпадает с её концом. Если концы не совпали, граница не замкнута.
2. Проследите за всеми отрезками и убедитесь, что они не пересекают друг друга, кроме соединения соседних концов. Если есть самопересечение, ломаная не задаёт обычный многоугольник.
3. Если оба условия выполнены, назовите вершины по порядку, например A, B, C, D. Стороны — отрезки между соседними буквами и замыкающий отрезок DA.

Ответ: ломаная задаёт многоугольник, если она замкнута и не имеет самопересечений; его вершины и стороны перечисляют по порядку обхода. Если хотя бы одно условие не выполнено, многоугольника нет. Проверка двух признаков не позволяет принять за многоугольник любую замкнутую линию.

Задача 2. В пятиугольнике ABCDE укажите все диагонали и объясните, почему отрезок AB диагональю не является. Обойдём вершины в указанном порядке: соседними являются пары AB, BC, CD, DE и EA. Диагонали должны соединять все остальные пары вершин, не являющиеся соседними.

1. От вершины A проведите отрезки к несоседним вершинам C и D: получаются AC и AD.
2. От вершины B добавьте отрезки к несоседним вершинам D и E: BD и BE.
3. Из ещё не учтённых пар получается CE. Пары, уже перечисленные как стороны или диагонали, повторно не записывайте.
4. AB соединяет соседние вершины и является стороной пятиугольника, поэтому диагональю не считается.

Ответ: диагонали пятиугольника — AC, AD, BD, BE и CE; AB — сторона. Чтобы не пропустить диагональ, переберите пары вершин и исключите соседние. Чтобы не посчитать одну пару дважды, достаточно записывать каждый отрезок один раз.

Задача 3. Стороны выпуклого четырёхугольника равны 4 см, 6 см, 4 см и 9 см. Найдите его периметр и обоснуйте выпуклость, если известно, что отрезки между любыми его точками не выходят за его границу. Нужно отдельно применить определение выпуклости и вычислить общую длину сторон.

1. По условию отрезок между любыми двумя точками четырёхугольника целиком остаётся в нём. Это и есть признак выпуклого многоугольника, значит, четырёхугольник выпуклый.
2. Сложите длины четырёх сторон: 4 + 6 + 4 + 9 = 23.
3. Запишите единицу измерения длины, поскольку складывались сантиметры.

Ответ: четырёхугольник выпуклый по определению, его периметр равен 23 см. Выпуклость следует из условия об отрезках, а периметр — из суммы сторон. Эти два вывода опираются на разные сведения задачи.

Типичные ошибки

Ошибка: называть диагональю любой отрезок между двумя вершинами. Так происходит, когда не проверяют, соседние ли вершины соединены: сторона тоже имеет концы в вершинах. Сверьте пару с последовательностью вершин по границе — соседние вершины дают сторону, несоседние дают диагональ.

Ошибка: считать многоугольником любую замкнутую ломаную. Причина в том, что проверяют только совпадение начала и конца и забывают о пересечениях. Проведите взглядом по всей ломаной: если её части пересекаются, условие для обычного многоугольника не выполнено.

Ошибка: путать число сторон с числом диагоналей. Стороны образуют границу, а диагонали проходят между несоседними вершинами, поэтому это разные элементы и их количества не обязаны совпадать. Для проверки посчитайте стороны при обходе границы, а диагонали перечисляйте отдельно среди пар несоседних вершин.

Ошибка: сложить не все стороны или учесть одну дважды при вычислении периметра. Это часто случается, если перескакивать по границе или возвращаться к уже посчитанному отрезку. Отметьте каждую сторону после подсчёта и убедитесь, что учтены все стороны ровно по одному разу.

Связь с другими темами

Для изучения многоугольников нужно уметь распознавать отрезок и ломаную, знать, что такое вершина, и измерять длину отрезка. Эти знания помогают читать обозначения фигуры и находить длины её сторон. Без них нельзя правильно проверить границу многоугольника или вычислить его периметр.

Понятия многоугольника, стороны, вершины и диагонали понадобятся при изучении треугольников и четырёхугольников. Частные виды многоугольников имеют дополнительные свойства, но их границы и основные элементы распознаются по общим правилам. Периметр используется в задачах на длины и в дальнейших вычислениях с геометрическими фигурами.

Что запомнить

• Многоугольник образован простой замкнутой ломаной и ограниченной ею частью плоскости.
• Число сторон многоугольника равно числу его вершин.
• Стороны соединяют соседние вершины.
• Диагональ соединяет две несоседние вершины.
• Выпуклый многоугольник содержит отрезок, соединяющий любые две его точки.
• Периметр равен сумме длин всех сторон.