§ 20. Понятие площади многоугольника. Площадь прямоугольника

Определения и обозначения

Площадь многоугольника — положительное число, которое характеризует размер части плоскости, ограниченной этим многоугольником. Она позволяет сравнивать, сколько места на плоскости занимают разные фигуры. Площадь записывают числом вместе с единицей измерения, например 12 см². Это понятие нужно, чтобы описывать и вычислять размеры поверхностей.

Равные многоугольники — фигуры, которые можно совместить наложением; у них равны соответствующие стороны и углы. При совмещении одна фигура полностью совпадает с другой, поэтому они занимают одинаковую часть плоскости. Значит, площади равных многоугольников равны. Это позволяет находить площадь одной фигуры через площадь равной ей фигуры.

Площадь обладает свойствами равных фигур и сложения площадей частей. Если многоугольники равны, их площади одинаковы; если фигура разбита на части без наложений, её площадь равна сумме площадей этих частей. Эти свойства помогают вычислять площадь сложной фигуры по более простым частям. При сложении важно учитывать каждую часть ровно один раз.

Площадь прямоугольника — величина, равная произведению длин двух его смежных сторон. Смежные стороны имеют общую вершину и образуют прямой угол. Если их длины обозначены a и b, формула площади имеет вид S = ab. Она нужна для быстрого вычисления площади прямоугольной поверхности.

Как это устроено

Чтобы измерить площадь, фигуру сравнивают с единичным квадратом — квадратом, сторона которого принята за единицу длины. Например, если сторона равна 1 см, такой квадрат имеет площадь 1 см². Подсчитывая, сколько таких квадратов укладывается в фигуре, получают её площадь. Единица зависит от выбранной длины, потому что при смене сантиметров на метры меняется размер квадрата для измерения.

Совмещение равных многоугольников не меняет занимаемую часть плоскости: после наложения границы и внутренние области совпадают. Поэтому число единичных квадратов, необходимых для измерения каждой фигуры, будет одним и тем же. Так объясняется, почему у равных многоугольников равные площади. Равенство фигур удобно применять, когда одну из них измерить трудно, а другую — проще.

Если разрезать многоугольник на несколько частей, каждая часть занимает свою область. Когда части не перекрываются, ни одна точка исходной фигуры не учитывается дважды, а вместе части образуют всю фигуру. Поэтому можно отдельно измерить каждую часть и сложить результаты. Если части наложатся друг на друга, при сложении площадь общей области посчитается повторно.

Представим прямоугольник, стороны которого составляют целое число единичных отрезков. Единичные квадраты в нём можно расположить рядами: в каждом ряду их столько, сколько единиц длины приходится на одну сторону. Число рядов соответствует другой стороне, поэтому общее количество квадратов равно произведению этих двух чисел. Так возникает формула S = ab, где a и b — длины смежных сторон.

Формула S = ab работает не только тогда, когда стороны выражены целым числом единичных отрезков. Длины можно измерить в выбранных единицах, а произведение этих длин даёт площадь в соответствующих квадратных единицах. Например, если обе стороны заданы в метрах, ответ будет в м². Перед вычислением нужно привести стороны к одной единице, иначе произведение не будет выражено в согласованных единицах площади.

Понятие площади и площадь прямоугольника

Сопоставляйте строки таблицы с задачей: она поможет выбрать нужное свойство или формулу. Сначала проверьте, что именно дано — единичный квадрат, равные фигуры, части фигуры или стороны прямоугольника. Затем запишите результат с подходящей единицей площади.

Разбор задач

Задача 1. Стороны прямоугольника равны 6 см и 4 см. Найдите его площадь. Здесь известны обе стороны, которые образуют прямой угол, поэтому подходит формула S = ab. Длины уже заданы в одинаковых единицах, значит, переводить их не требуется.

1. Обозначим длины сторон: a = 6 см, b = 4 см.
2. Подставим значения в формулу: S = ab = 6 · 4.
3. Выполним умножение и запишем единицу площади: S = 24 см².

Ответ: 24 см². Квадратные сантиметры указывают, что мы измерили площадь, а не длину стороны.

Задача 2. Прямоугольник имеет площадь 42 см² и одну сторону длиной 7 см. Найдите длину другой стороны. В формуле S = ab произведение сторон известно, как и одна из них. Чтобы найти второй множитель, нужно разделить произведение на известный множитель.

1. Запишем данные: S = 42 см², a = 7 см.
2. Выразим неизвестную сторону: b = S : a.
3. Вычислим: b = 42 см² : 7 см = 6 см. Единица сокращается до сантиметра, поскольку площадь делится на длину.

Ответ: 6 см. Проверка: 7 см · 6 см = 42 см², как и задано в условии.

Задача 3. Фигуру составили из двух прямоугольников без наложения: один имеет размеры 8 см и 3 см, другой — 5 см и 2 см. Найдите площадь всей фигуры. Поскольку прямоугольники не перекрываются, можно найти их площади отдельно, а затем сложить. Складывать нужно именно площади, а не длины сторон.

1. Найдём площадь первого прямоугольника: S₁ = 8 · 3 = 24 см².
2. Найдём площадь второго: S₂ = 5 · 2 = 10 см². В обоих вычислениях стороны указаны в сантиметрах.
3. Сложим площади частей: S = S₁ + S₂ = 24 см² + 10 см² = 34 см².

Ответ: 34 см². Так применили свойство сложения площадей частей, которые не накладываются друг на друга.

Типичные ошибки

Перемножают длины сторон, но записывают ответ в сантиметрах вместо квадратных сантиметров. Так происходит, когда единицу площади принимают за обычную единицу длины. Проверьте обозначение по размерности: сантиметр, умноженный на сантиметр, даёт см².

Подставляют в формулу стороны, выраженные в разных единицах, например 2 м и 30 см. Числа нельзя непосредственно перемножать, если они относятся к разным единицам длины. Перед вычислением переведите обе стороны в сантиметры или обе в метры, а затем проверьте, что площадь записана в квадратных единицах этой системы.

При вычислении площади составной фигуры складывают длины сторон её частей. Вероятная причина — смешение площади с периметром, который связан с длинами границы. Для проверки найдите площадь каждой части отдельно по подходящей формуле и сложите полученные значения с единицами площади.

Вместо умножения складывают стороны прямоугольника, как при вычислении периметра. Площадь отвечает на вопрос о размере области внутри фигуры, а периметр — о длине её границы. Сверьте формулу с тем, что требуется найти: для площади прямоугольника используйте S = ab, а результат проверяйте в квадратных единицах.

Связь с другими темами

Чтобы работать с площадями, нужно уметь измерять отрезки и различать единицы длины: например, сантиметры и метры. Также понадобится навык умножения чисел, поскольку в формуле площади прямоугольника перемножают длины сторон. Эти умения помогают не только вычислять ответ, но и правильно выбирать единицы.

Понятие площади и её свойство сложения пригодятся при нахождении площадей треугольников и других многоугольников. Сложную фигуру часто можно разбить на более простые части, найти их площади и сложить результаты. Равенство площадей также позволяет использовать свойства равных фигур в таких вычислениях.

Формула прямоугольника полезна в практических задачах: с её помощью находят площадь пола, стены или другого прямоугольного участка поверхности. Её также используют при выводе формул площадей других фигур. Поэтому понимание единиц и умение применять S = ab становятся основой для дальнейшего изучения геометрии.

Что запомнить

• Площадь показывает, какую часть плоскости занимает многоугольник.
• Равные многоугольники имеют равные площади.
• Площадь фигуры равна сумме площадей её частей, если части не перекрываются.
• Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон: S = ab.
• Площадь выражают в квадратных единицах.
• Перед вычислением проверь, что длины сторон выражены в одинаковых единицах.