"Геометрия", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Площадь параллелограмма показывает, какую часть плоскости занимает фигура. Чтобы её найти, выбирают любую сторону в качестве основания и проводят к ней перпендикулярную высоту. Главное правило: площадь равна произведению основания на соответствующую высоту — S = ah. Важно не путать высоту с наклонной боковой стороной и записывать результат в квадратных единицах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Обычно его обозначают буквами ABCD, записывая вершины по порядку. Это обозначение помогает указывать стороны, вершины и высоты без длинных описаний.
Основание параллелограмма — сторона, выбранная для вычисления площади. Основанием может быть любая из четырёх сторон, но выбор нужно согласовать с высотой. Такое соглашение позволяет применять одну и ту же формулу к разным положениям фигуры.
Высота параллелограмма — перпендикуляр, проведённый к выбранному основанию из противоположной вершины. Иными словами, это расстояние между двумя параллельными прямыми, на которых лежат противоположные стороны. Высота показывает не длину наклонной стороны, а расстояние между основаниями.
Площадь параллелограмма — величина, показывающая размер части плоскости, занимаемой фигурой. Её обозначают буквой S и измеряют в квадратных единицах: см², м² и так далее. По площади можно сравнивать фигуры и находить неизвестные основания или высоты.
Чтобы понять формулу площади, мысленно отсечём от параллелограмма треугольник с одной стороны. Если перенести этот треугольник к противоположной стороне, наклонный край исчезнет, а фигура превратится в прямоугольник. Перенос не изменяет площадь, потому что одна и та же часть фигуры только меняет положение.
У получившегося прямоугольника одна сторона равна выбранному основанию параллелограмма. Другая сторона равна высоте, поскольку при переносе сохраняется перпендикулярное расстояние между параллельными сторонами. Поэтому прямоугольник имеет размеры a и h, связанные именно с выбранной парой.
Площадь прямоугольника находят умножением его длины на ширину: S = ab. В преобразованной фигуре вместо длины стоит основание a, а вместо ширины — высота h. Значит, площадь параллелограмма вычисляется по формуле S = ah.
Наклонная боковая сторона не подходит на роль высоты, если она не образует с основанием прямой угол. При умножении на неё получилось бы произведение основания и наклонного отрезка, а оно не отражает расстояние между параллельными сторонами. Проверить себя можно по значку прямого угла: соответствующая высота должна быть перпендикулярна основанию.
Если выбрать другую сторону основанием, высота тоже изменится: нужно провести перпендикуляр уже к новой стороне. Пара «новое основание — новая высота» описывает ту же фигуру и приводит к тому же значению S. Поэтому площадь не зависит от выбора основания, хотя отдельные длины могут быть другими.
Сначала определите, какие величины известны, и выберите основание. Затем проверьте, что высота проведена именно к этой стороне, а единицы длины совпадают. В таблице собраны основные варианты преобразования формулы.
| Что известно или требуется найти | Обозначения | Формула | Что важно учесть |
|---|---|---|---|
| Площадь параллелограмма | a — основание, h — соответствующая высота | S = ah | Основание и высота должны быть согласованы |
| Основание по площади и высоте | S, h, a | a = S/h | Делим площадь на высоту |
| Высота по площади и основанию | S, a, h | h = S/a | Делим площадь на основание |
| Единицы измерения | Длины: см, м; площадь: см², м² | 1 м² = 10 000 см² | Перед вычислением приводим длины к одной единице |
Если требуется площадь, перемножьте две длины: основание и соответствующую высоту. Если неизвестна одна из них, выразите её из равенства S = ah делением. Ответ о площади записывайте в квадратных единицах.
Основание параллелограмма равно 12 см, а высота к нему — 7 см. Требуется найти площадь. Обе величины уже выражены в сантиметрах, поэтому дополнительный перевод единиц не нужен.
Ответ: 84 см².
Площадь параллелограмма равна 84 см², одно основание — 12 см. Нужно найти высоту, проведённую к этому основанию. Поскольку известны S и a, из основной формулы выражаем h.
Ответ: 7 см.
В параллелограмме ABCD высота BE, проведённая к стороне AD, равна 5 см, AD = 9 см, а AB = 7 см. Нужно найти площадь и объяснить, почему сторона AB не является данной высотой. К стороне AD относится именно перпендикуляр BE.
Ответ: 45 см²; использовать AB как высоту нельзя, потому что она не перпендикулярна AD.
Основание умножают на боковую сторону вместо высоты. Так происходит, потому что высотой ошибочно считают любой отрезок от основания к противоположной вершине. Проверьте наличие прямого угла между выбранным основанием и вторым множителем.
Берут высоту, проведённую к другой стороне. У каждой стороны есть своя соответствующая высота, поэтому произвольное сочетание длин неверно. Назовите основание буквами и убедитесь, что высота перпендикулярна именно ему.
В ответе забывают квадратные единицы. Площадь получается при умножении двух длин, поэтому единица длины также возводится в квадрат. После вычисления проверьте, написано ли см², м² или другая подходящая единица.
Подставляют в формулу длины, выраженные в разных единицах. Например, сантиметры нельзя напрямую умножать на метры, если ожидается единый результат. Сначала переведите обе длины в сантиметры или обе в метры, а затем вычисляйте.
Для решения задач о площади параллелограмма нужны определение и свойства параллелограмма, понятие перпендикуляра и формула площади прямоугольника. Также важно уметь преобразовывать формулы, выражая неизвестную величину.
Формула параллелограмма помогает выводить и понимать формулы площадей треугольника и трапеции. В этих фигурах также используется идея разбиения, переноса частей и сравнения площадей.
Знание S = ah пригодится в задачах на нахождение высот, оснований и отношений площадей. Оно позволяет переходить от геометрических свойств фигуры к точным вычислениям.
Можно ли любую сторону параллелограмма считать основанием?
Да, любую сторону можно выбрать основанием. Но тогда нужно использовать именно ту высоту, которая проведена перпендикулярно к выбранной стороне.
Почему нельзя умножать основание на боковую сторону?
Боковая сторона обычно наклонена к основанию и не является высотой. В формуле площади нужна длина перпендикуляра между параллельными прямыми, а не наклонный отрезок.
Как понять, какая высота соответствует данному основанию?
Соответствующая высота образует с выбранным основанием прямой угол. Она соединяет противоположную вершину с прямой, содержащей основание, и перпендикулярна этой прямой.
Что делать, если в задаче известны площадь и основание, но требуется найти высоту?
Используйте преобразованную формулу h = S/a. Нужно разделить площадь на длину основания и записать высоту в единицах длины.
Почему при выборе другой стороны в качестве основания площадь не меняется?
Меняется только пара «основание — соответствующая высота». Для любой стороны произведение её длины на перпендикулярную высоту даёт одну и ту же площадь фигуры.
§ 21. Площадь параллелограмма
