§ 22. Площадь треугольника

Определения и обозначения

Площадь треугольника — величина, показывающая, сколько единичных квадратов содержит треугольник. Например, площадь в квадратных сантиметрах выражает размер фигуры через квадраты со стороной 1 см. Понятие площади нужно, чтобы сравнивать фигуры и вычислять, сколько места они занимают.

Основание треугольника — сторона, выбранная для применения формулы площади. Основанием можно назвать любую из трёх сторон, поэтому оно не обязательно должно быть нижней стороной на рисунке. Выбор основания определяет, какую высоту нужно использовать в вычислении.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. Перпендикуляр образует с этой прямой угол 90°, а его длина используется в формуле площади. Высота может лежать внутри треугольника или вне его.

Соответствующие основание и высота — выбранная сторона и высота, перпендикулярная именно этой стороне или её продолжению. Например, если основание обозначено a, соответствующую высоту обычно обозначают hₐ. Это уточнение помогает не перепутать высоты, когда у треугольника выбрана другая сторона.

Как это устроено

Чтобы понять, откуда берётся формула площади, представь два одинаковых треугольника. Если сложить их подходящими сторонами, получится параллелограмм с таким же основанием и высотой. Его площадь равна произведению основания на высоту, а один из двух равных треугольников занимает ровно половину параллелограмма. Поэтому площадь треугольника составляет половину произведения основания на соответствующую высоту.

Если основание обозначить буквой a, а высоту к нему — h, формула записывается так: S = ½ah. Здесь S обозначает площадь, а h измеряется перпендикулярно основанию. Сначала перемножают длины основания и высоты, затем результат делят на 2. Если длины заданы в сантиметрах, площадь получится в квадратных сантиметрах.

Любая сторона треугольника может стать основанием, потому что для каждой стороны можно провести перпендикуляр из противоположной вершины. Но высота зависит от выбора стороны: к основанию a относится hₐ, а к стороне b — h_b. Произведение любой стороны на высоту к другой стороне обычно даст неверный результат. Поэтому перед подстановкой стоит назвать выбранное основание и проверить, откуда и куда проведена высота.

В остроугольном треугольнике каждый угол меньше прямого, поэтому все три высоты попадают внутрь фигуры. В прямоугольном треугольнике катеты перпендикулярны: если один взять основанием, другой сразу окажется соответствующей высотой. В тупоугольном треугольнике высоты из острых вершин могут упасть не на саму сторону, а на её продолжение. Продли сторону и опусти перпендикуляр из противоположной вершины: его длина всё равно служит высотой.

Формулу можно преобразовать, если площадь и одна из двух длин известны, а вторую нужно найти. Из S = ½ah умножением обеих частей на 2 получаем 2S = ah. Тогда высота равна h = 2S/a, а основание — a = 2S/h. При вычислениях следи, чтобы площадь и длины были выражены в согласованных единицах.

Формулы площади треугольника при выборе разных оснований

В каждой строке указаны основание и именно та высота, которая к нему перпендикулярна. Выбери строку по известной стороне и высоте, а затем подставь их длины в формулу. Все три записи дают площадь одного и того же треугольника.

Разбор задач

Основание и высота известны

Основание треугольника равно 12 см, а соответствующая высота — 7 см. Нужно найти площадь и убедиться, что длины относятся друг к другу как основание и высота. Обозначим площадь через S и воспользуемся формулой половины произведения. Результат запишем в квадратных сантиметрах, потому что перемножаются две длины в сантиметрах.

1. Выбираем формулу: S = ½ah.
2. Подставляем значения: S = ½ · 12 · 7.
3. Сначала умножаем 12 на 7, затем делим на 2: S = 84 : 2 = 42.

Ответ: 42 см². Проверка: без деления на 2 получилось бы 84 см² — площадь параллелограмма с теми же основанием и высотой, а треугольник составляет его половину.

Площадь прямоугольного треугольника

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Катеты образуют прямой угол, поэтому один из них перпендикулярен другому. Значит, не нужно отдельно строить высоту: второй катет уже является высотой к выбранному катету. Возьмём за основание катет 6 см, а за высоту — катет 8 см.

1. Записываем формулу: S = ½ah.
2. Подставляем длины катетов: S = ½ · 6 · 8.
3. Вычисляем: S = 48 : 2 = 24.

Ответ: 24 см². Катеты можно поменять ролями: если основание равно 8 см, высота будет 6 см, и площадь останется такой же.

Площадь равнобедренного треугольника

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 13 см, основание — 10 см. Для формулы площади нужна высота к основанию, но её длина не дана. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, делит его пополам, поэтому получаются два прямоугольных треугольника с катетом 5 см и гипотенузой 13 см. Найдём второй катет по теореме Пифагора.

1. Половина основания равна 10 : 2 = 5 см.
2. Если высота равна h, то h² + 5² = 13². Следовательно, h² = 169 − 25 = 144, откуда h = 12 см.
3. Подставляем основание и найденную высоту: S = ½ · 10 · 12 = 60 см².

Ответ: 60 см². Проверить высоту можно по равенству 5² + 12² = 13², которое выполняется для получившегося прямоугольного треугольника.

Типичные ошибки

Первая ошибка — умножить основание на высоту и не разделить результат на 2. Так находят площадь параллелограмма, а не треугольника; путаница возникает потому, что в обеих формулах есть произведение основания и высоты. Проверь, есть ли в записи множитель ½, и сравни ответ с площадью параллелограмма тех же размеров.

Вторая ошибка — взять высоту, проведённую к другой стороне. Обычно так происходит, если в треугольнике нарисовано несколько высот и не отмечено, какая из них нужна. Перед вычислением проверь, что выбранная высота перпендикулярна основанию или его продолжению. Удобно подписывать пару вместе: a и hₐ.

Третья ошибка — считать высотой любую боковую сторону или отрезок из вершины. Высота обязательно образует прямой угол с прямой, на которой лежит основание, а боковая сторона может быть наклонной. Отметь угол 90° или проверь его по условию; если такого перпендикуляра нет, длина не является соответствующей высотой.

Четвёртая ошибка — подставить длины в разных единицах или записать площадь в сантиметрах. Например, прежде чем умножать метры на сантиметры, нужно перевести величины в одну систему. После перемножения двух длин ответ выражается в квадратных единицах: см², м² и т. п. Проверь и единицы исходных данных, и единицу ответа.

Связь с другими темами

Для работы с формулой нужны понятия площади прямоугольника и параллелограмма, перпендикуляра и высоты треугольника; в некоторых задачах пригодится теорема Пифагора. Позже площадь многоугольника можно будет находить, разбивая его на треугольники и складывая площади частей. Та же формула поможет решать задачи о сторонах и высотах, а также станет основой для изучения площадей трапеции и других фигур.

Что запомнить

• Площадь треугольника равна половине произведения основания на соответствующую высоту.
• Формула площади: S = ½ah.
• Основанием можно выбрать любую сторону треугольника.
• Высота должна быть перпендикулярна выбранному основанию или его продолжению.
• Площадь измеряется в квадратных единицах.
• Для нахождения основания или высоты формулу S = ½ah преобразуют.
• В прямоугольном треугольнике катеты можно использовать как основание и соответствующую высоту.