§ 41. Площадь треугольника

Определения и обозначения

Площадь треугольника — величина, показывающая, какую часть плоскости занимает треугольник; её обычно обозначают буквой S. Проще говоря, площадь позволяет сравнить, сколько места занимают разные фигуры. Она нужна, чтобы вычислять и сравнивать размеры участков плоскости. Результат записывают в квадратных единицах, например в см².

Основание треугольника — сторона, выбранная для вычисления площади. Основанием можно назначить любую сторону, поэтому при решении задачи его выбирают так, чтобы известные данные было удобно использовать. Однако выбор основания связан с выбором высоты. Нельзя взять сторону за основание, а высоту — к другой стороне.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. Перпендикуляр пересекает эту прямую под прямым углом, а его длина показывает расстояние от вершины до прямой основания. Иногда высота лежит внутри треугольника, а иногда выходит за его границы. Это определение помогает отличать высоту от наклонного отрезка.

Формула площади треугольника — равенство S = ½ah, где a — основание, а h — соответствующая ему высота. Буква h обозначает длину перпендикуляра, проведённого именно к стороне a. Формула даёт площадь в квадратных единицах, если обе длины выражены в одинаковых единицах. Зная любые два из величин S, a и h, можно найти третью.

Как это устроено

Высота нужна потому, что площадь зависит не просто от длины выбранной стороны, а от расстояния до противоположной вершины. Это расстояние измеряют по перпендикуляру: он показывает кратчайший промежуток между вершиной и прямой основания. Наклонный отрезок длиннее такого расстояния и не задаёт высоту. Поэтому к каждому основанию относится своя высота, и в формуле их нельзя смешивать.

Чтобы увидеть, откуда берётся формула, представим второй такой же треугольник и приложим его к первому. Из двух одинаковых треугольников можно составить параллелограмм, у которого основание равно a, а высота — h. Площадь этого параллелограмма равна произведению основания на высоту, то есть ah. Так как в нём два равных треугольника, площадь одного из них вдвое меньше: S = ½ah.

В тупоугольном треугольнике вершина, из которой проводят высоту, может находиться так, что перпендикуляр пересекает продолжение основания. Это не отменяет высоту: основанием в вычислении служит сторона, а перпендикуляр проводят к прямой, на которой она лежит. Расстояние от вершины до этой прямой по-прежнему равно h. Поэтому произведение a и h и половина этого произведения дают ту же площадь.

Если на рисунке даны несколько сторон и перпендикуляров, сначала выбери сторону, длина которой будет основанием. Затем найди вершину, противоположную этой стороне, и проверь, какой из отрезков из неё образует прямой угол с прямой основания. Длина этого отрезка и есть соответствующая высота. Например, если основанием выбрана сторона AB, нужна высота из вершины C к прямой AB, а не высота к другой стороне.

У прямоугольного треугольника катеты образуют прямой угол. Если выбрать один катет основанием, второй катет окажется перпендикулярен ему и будет соответствующей высотой. Поэтому для катетов a и b площадь можно найти как S = ½ab. Здесь не требуется отдельно строить высоту: её роль уже выполняет второй катет.

Площадь треугольника в зависимости от выбранного основания

В таблице для каждого случая указаны сторона, которую берут за основание, и высота, которую с ней нужно использовать. Сопоставляй их в одной строке: длины из разных строк нельзя подставлять вместе. Для тупоугольного треугольника учитывай, что высота может пересечь продолжение основания.

Разбор задач

Задача 1

Основание треугольника равно 12 см, а высота, проведённая к нему, — 5 см. Нужно найти площадь. Эти данные подходят для формулы напрямую: известны и основание, и соответствующая ему высота. Используем формулу S = ½ah.

1. Подставим известные значения: S = ½ · 12 · 5. Поскольку высота проведена именно к стороне длиной 12 см, данные соответствуют друг другу.
2. Вычислим: 12 · 5 = 60, а половина от 60 равна 30. Квадратные сантиметры указывают единицу измерения площади.

Ответ: 30 см².

Задача 2

Площадь треугольника равна 42 см², выбранное основание — 12 см. Требуется найти высоту, проведённую к этому основанию. Неизвестная высота входит в формулу S = ½ah, поэтому сначала выразим её через известные площадь и основание. Получим h = 2S/a.

1. Подставим значения: h = 2 · 42 / 12. Умножим площадь на 2: 2 · 42 = 84.
2. Разделим 84 на 12: h = 7. Единица измерения — сантиметр, потому что речь идёт о длине высоты, а не о площади.

Ответ: 7 см.

Задача 3

Катеты прямоугольного треугольника равны 9 см и 12 см, гипотенуза — 15 см. Сначала найдём площадь по катетам: они перпендикулярны, значит один служит основанием, а другой — высотой. Затем ту же площадь выразим через гипотенузу и высоту к ней. Так мы сможем найти высоту, не измеряя её напрямую.

1. Найдём площадь по катетам: S = ½ · 9 · 12 = 54 см². Теперь используем гипотенузу как основание и обозначим искомую высоту через h.
2. Запишем равенство 54 = ½ · 15 · h. Умножим обе части на 2: 108 = 15h.
3. Разделим 108 на 15: h = 7,2 см. Проверка: половина произведения 15 и 7,2 равна 54 см².

Ответ: площадь равна 54 см², высота к гипотенузе — 7,2 см.

Типичные ошибки

Подставляют к выбранному основанию высоту, проведённую к другой стороне. Это происходит, когда ориентируются только на то, что отрезок на рисунке назван высотой, и не проверяют его положение. Проверь, из какой вершины он проведён и к какой прямой перпендикулярен. Основание и высота в формуле должны соответствовать друг другу.

Забывают множитель ½ и вычисляют произведение основания на высоту. Так находят площадь параллелограмма с теми же основанием и высотой, а не треугольника. Ошибку легко заметить, если вспомнить, что два равных треугольника составляют такой параллелограмм. Перед вычислением запиши формулу целиком: S = ½ah.

Принимают наклонный отрезок от вершины к стороне за высоту. Его можно перепутать с перпендикуляром, если на схеме не сразу заметен прямой угол. Высота обязательно образует с прямой основания угол 90°. Проверь наличие отметки прямого угла или используй условие задачи.

Считают, что у тупоугольного треугольника нет высоты, если она не пересекает саму сторону. Такое мнение возникает, когда высоту представляют только отрезком внутри треугольника. Продли основание и проведи перпендикуляр к полученной прямой: этот перпендикуляр и будет высотой. В формуле по-прежнему используются длины основания и высоты.

Связь с другими темами

Перед изучением площади треугольника нужно знать формулу площади параллелограмма и понимать, что его высота перпендикулярна основанию. Также пригодятся умение распознавать прямой угол, находить соответствующие сторону и высоту и выполнять действия с величинами площади. Формула треугольника помогает решать задачи о площадях многоугольников: сложную фигуру можно разбить на треугольники. Она также позволяет находить неизвестную высоту или сторону и участвует в доказательствах геометрических утверждений.

Что запомнить

• Площадь треугольника равна половине произведения основания на соответствующую высоту.
• Формула: S = ½ah.
• Основанием можно выбрать любую сторону треугольника.
• Высота проводится перпендикулярно прямой, содержащей основание.
• Высота тупоугольного треугольника может лежать вне него.
• Площадь выражают в квадратных единицах.