"Геометрия", Смирнова И.М., Смирнов В.А.
Площадь треугольника показывает, какую часть плоскости занимает фигура, и измеряется в квадратных единицах. Для вычисления достаточно знать сторону, выбранную основанием, и высоту, проведённую к ней. Главная формула: S = ah/2. Основанием можно сделать любую сторону, но высота каждый раз будет соответствующей именно ей. Даже если высота падает на продолжение стороны, формула не меняется.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь треугольника — величина, показывающая, сколько единичных квадратов занимает треугольник; обычно её обозначают буквой S. Площадь измеряют в квадратных единицах: см², м² и других. Это число нужно, чтобы сравнивать размеры фигур и находить неизвестные величины.
Основание треугольника — выбранная сторона, относительно которой рассматривают треугольник. Основанием можно назвать любую из трёх сторон. Выбор основания важен, потому что от него зависит, какую высоту нужно использовать.
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. Перпендикуляр образует с этой прямой прямой угол. Высота показывает расстояние от вершины до линии основания и используется в формуле площади.
Соответствующие основание и высота — это выбранная сторона и высота, проведённая к ней или к её продолжению. Например, стороне a соответствует высота h, проведённая именно к прямой a. Такое соответствие нужно соблюдать при подстановке чисел в формулу.
Связь площади треугольника с площадью параллелограмма объясняется построением. Если взять два равных треугольника и соединить их подходящими сторонами, получится параллелограмм. Его основание и высота будут такими же, как у исходного треугольника, поэтому два треугольника вместе занимают площадь параллелограмма.
Площадь параллелограмма вычисляют по формуле S = ah, где a — основание, а h — высота к нему. Один из двух равных треугольников занимает половину этой площади. Поэтому для треугольника получаем формулу S = ah/2, то есть площадь равна половине произведения основания на соответствующую высоту.
Высота зависит от того, какую сторону выбрали основанием. Если основанием стала другая сторона, перпендикуляр нужно провести из противоположной вершины именно к ней. Длины таких высот могут быть различными, но каждая пара «сторона — высота к ней» даёт правильный результат.
В тупоугольном треугольнике перпендикуляр иногда попадает не внутрь фигуры, а на продолжение основания. Это не нарушает определение: высота проводится к прямой, содержащей сторону, а не обязательно к самому отрезку. Расстояние между параллельными линиями и угол в 90° сохраняются, поэтому формула S = ah/2 остаётся верной.
Если основание и соответствующая высота не меняются, площадь остаётся постоянной. Например, вершина может перемещаться по прямой, параллельной основанию: расстояние до основания тогда одинаково. Основание и высота сохраняют свои значения, значит, их произведение и площадь треугольника тоже не изменяются.
| Ситуация | Формула или правило | Что важно учесть |
|---|---|---|
| Площадь через основание и высоту | S = ah/2 | a и h должны быть соответствующими |
| Выбор основания | Основанием может быть любая сторона | Высоту проводят к выбранной стороне |
| Высота проведена к продолжению основания | S = ah/2 | Берут длину перпендикуляра до прямой основания |
| Нахождение неизвестной стороны или высоты | h = 2S/a; a = 2S/h | Следят за единицами измерения |
Сначала найдите в условии основание и высоту, проведённую к нему. Затем выберите подходящую формулу и подставьте величины в одинаковых единицах длины. В конце проверьте, что площадь записана в квадратных единицах.
Основание треугольника равно 8 см, а высота к нему — 5 см. Требуется найти площадь. Даны именно соответствующие величины, поэтому можно сразу применить основную формулу.
Запишем формулу: S = ah/2.
Подставим значения: S = 8 · 5 / 2 = 40/2 = 20 см².
Проверим единицу: сантиметры перемножаются, поэтому получаются квадратные сантиметры.
Ответ: 20 см².
Площадь треугольника равна 36 см², а основание — 9 см. Нужно найти высоту, проведённую к этому основанию. Не следует брать другую высоту: искомая величина должна соответствовать стороне 9 см.
Начнём с формулы S = ah/2 и умножим обе части на 2: 2S = ah.
Разделим обе части на a: h = 2S/a.
Подставим данные: h = 2 · 36 / 9 = 72/9 = 8 см.
Ответ: 8 см.
В тупоугольном треугольнике основание равно 10 см, а высота к прямой, содержащей основание, — 6 см. Перпендикуляр может оказаться вне треугольника, потому что основание продолжают за пределы его отрезка. Для площади важна длина перпендикуляра до прямой основания.
Используем формулу для любой пары соответствующих величин: S = ah/2.
Подставим числа: S = 10 · 6 / 2 = 60/2 = 30 см².
Положение высоты не меняет вычисление: она по-прежнему перпендикулярна прямой основания.
Ответ: 30 см²; высота вне треугольника не мешает применению формулы.
Первая ошибка — умножить основание на высоту и не разделить результат на два. Так поступают, когда вспоминают формулу параллелограмма, но забывают, что треугольник составляет его половину. Проверьте себя: в записи обязательно должно быть S = ah/2.
Вторая ошибка — подставить высоту, проведённую к другой стороне. Возникает она из-за невнимательности к выбранному основанию. Проведите мысленно или на чертеже перпендикуляр именно к этой стороне и сравните его с данным значением.
Третья ошибка — принять за высоту наклонную сторону. Высота обязана образовывать прямой угол с основанием или его продолжением, а наклонная сторона обычно такого угла не образует. Проверка проста: найдите отметку прямого угла.
Четвёртая ошибка — решить, что высоты в тупоугольном треугольнике не существует, если она лежит снаружи. Её проводят к продолжению основания, поэтому она всё равно является перпендикулярным расстоянием. Убедитесь, что перпендикуляр опущен на нужную прямую.
Для изучения площади треугольника нужны формулы площади прямоугольника и параллелограмма, а также понятие перпендикуляра. Полученная формула помогает находить площади многоугольников, если разбить их на треугольники. Умение подбирать соответствующие сторону и высоту пригодится при дальнейшем изучении свойств треугольников и задач на их площади.
Почему в формуле площади треугольника нужно делить произведение основания и высоты на два?
Два равных треугольника можно соединить в параллелограмм с теми же основанием и высотой. Значит, один треугольник занимает ровно половину площади такого параллелограмма.
Можно ли выбрать основанием любую сторону треугольника?
Да, любую сторону можно выбрать основанием. Но тогда нужно взять высоту, проведённую к этой стороне или к её продолжению.
Как найти площадь, если высота опущена на продолжение стороны?
Нужно использовать ту же формулу S = ah/2. Высота остаётся перпендикулярным расстоянием до прямой, содержащей основание, поэтому её положение вне треугольника расчёт не меняет.
Что делать, если в задаче известна площадь и нужно найти высоту?
Из формулы S = ah/2 выразите высоту: h = 2S/a. Затем подставьте площадь и соответствующее основание, не забывая указать единицу длины.
Почему для площади нельзя взять произвольную сторону и высоту к другой стороне?
Площадь зависит от расстояния именно до выбранного основания. Высота к другой стороне относится к другой паре и обычно имеет другую длину, поэтому смешивать их нельзя.
§ 59. Площадь треугольника
