§ 58. Площадь параллелограмма

Определения и обозначения

Площадь параллелограмма — величина, показывающая размер части плоскости, занимаемой параллелограммом. Её обозначают буквой S и измеряют в квадратных единицах. Площадь нужна, чтобы сравнивать, сколько места занимают фигуры, и решать практические задачи о поверхностях. Для параллелограмма её находят с помощью основания и высоты.

Основание параллелограмма — выбранная сторона, относительно которой рассматривается высота и вычисляется площадь. В формулах длину основания обычно обозначают буквой a. Основанием можно выбрать любую сторону фигуры, но выбор влияет на то, какую высоту нужно взять. Поэтому нельзя рассматривать основание отдельно от соответствующей ему высоты.

Высота параллелограмма — перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. Перпендикуляр — это отрезок, который образует с прямой прямой угол; высоту обозначают буквой h. Она показывает расстояние между параллельными сторонами. Если перпендикуляр попадает не на саму сторону, а на её продолжение, он всё равно считается высотой.

Формула площади параллелограмма — зависимость площади от длины основания и соответствующей ему высоты: S = ah. Здесь S — площадь, a — основание, h — высота к этому основанию. Формула позволяет вычислить площадь, если известны две длины. Из неё также можно выразить основание или высоту.

Как это устроено

Параллелограмм можно мысленно преобразовать в прямоугольник, потому что его площадь не зависит от перемещения частей фигуры без наложения и разрывов. Для этого с одного края отделяют треугольную часть, а затем переносят её к другому краю. Получившаяся фигура заполняет прямоугольник без пустых мест и выступающих частей. Поскольку ничего не добавили и не убрали, площадь осталась прежней.

Чтобы увидеть преобразование, представьте параллелограмм с наклонной боковой стороной. От верхней вершины проведите перпендикуляр к прямой основания: он отделит у края прямоугольный треугольник. Если этот треугольник перенести к противоположной стороне, наклонный край выровняется. Длина прямоугольника будет равна основанию параллелограмма, а ширина — его высоте.

В формуле нужна высота, а не наклонная боковая сторона, потому что ширина полученного прямоугольника измеряется перпендикулярно основанию. Боковая сторона идёт под углом и обычно длиннее расстояния между параллельными сторонами. Если умножить её на основание, получится результат, как будто фигура была прямоугольником. Это верно только тогда, когда стороны перпендикулярны.

Сначала выберите сторону, которую удобно считать основанием, а затем найдите перпендикуляр к ней. Например, если основанием стала нижняя сторона, высота должна идти под прямым углом к этой стороне или к её продолжению. При выборе соседней стороны основанием понадобится уже другая высота. Так сохраняется соответствие между величинами в формуле S = ah.

Формулу можно преобразовать, если требуется найти не площадь, а одну из длин. Разделим обе части равенства S = ah на h и получим a = S/h. Если разделить обе части на a, получится h = S/a. Деление подходит, когда известны площадь и другая длина; результат измеряется в единицах длины.

Формулы площади параллелограмма

Сначала определите, что известно и что нужно найти, затем выберите соответствующую строку таблицы. Перед подстановкой проверьте, что основание и высота относятся друг к другу, а единицы измерения согласованы. Ответ для площади записывайте в квадратных единицах.

Разбор задач

Задача 1. Основание параллелограмма равно 8 см, а высота, проведённая к нему, равна 5 см. Найдите площадь. Здесь известны обе величины, нужные для формулы S = ah. Высота соответствует основанию, поэтому их можно перемножить.

1. Записываем формулу: S = ah.
2. Подставляем данные: S = 8 · 5.
3. Вычисляем: S = 40 см², так как произведение двух длин измеряется в квадратных единицах.

Ответ: 40 см². Мы использовали именно высоту к стороне длиной 8 см. Если бы была дана высота к другой стороне, подстановка потребовала бы соответствующего основания.

Задача 2. Площадь параллелограмма равна 42 см², а одно из оснований — 7 см. Найдите высоту, проведённую к этому основанию. Неизвестна высота, поэтому нужно выразить её из формулы площади. Деление площади на основание даст длину, а не площадь.

1. Записываем формулу: S = ah.
2. Выражаем высоту: h = S/a.
3. Подставляем числа: h = 42/7 = 6 см.

Ответ: 6 см. Проверим вычисление обратным действием: 7 · 6 = 42 см². Единицы согласованы, потому что см² разделили на см и получили см.

Задача 3. Стороны параллелограмма равны 6 см и 10 см, угол между ними не прямой; высота к стороне 10 см равна 4 см. Найдите площадь и сравните её с площадью прямоугольника со сторонами 6 см и 10 см. Здесь важно не принять сторону 6 см за высоту: она наклонена к стороне 10 см. Дана высота именно к основанию 10 см, значит, нужная пара величин известна.

1. Выбираем основание: a = 10 см, соответствующая высота h = 4 см.
2. Находим площадь параллелограмма: S = ah = 10 · 4 = 40 см².
3. Площадь прямоугольника равна 6 · 10 = 60 см². Сравниваем: 40 см² меньше 60 см².

Ответ: площадь параллелограмма — 40 см², площадь прямоугольника — 60 см²; площадь параллелограмма меньше. Если бы ошибочно умножить соседние стороны 6 и 10, получилось бы 60 см². Это число оказалось бы площадью прямоугольника, а не данного наклонного параллелограмма.

Типичные ошибки

Ошибка: умножить две соседние стороны и считать результат площадью параллелограмма. Так делают, перенося правило для прямоугольника, где соседние стороны перпендикулярны. Проверьте, образуют ли выбранные отрезки прямой угол; если нет, вместо второй стороны нужна высота.

Ошибка: принять наклонную боковую сторону за высоту. Её выбирают потому, что она уже отмечена на чертеже или кажется подходящей по длине. Проверьте угол между отрезком и основанием: высота должна быть перпендикулярна ему, иначе используйте перпендикуляр.

Ошибка: взять высоту, проведённую к другой стороне, чем выбранное основание. Это происходит, если не проследить, от какой прямой опущен перпендикуляр. Перед подстановкой назовите пару: «основание a и высота к нему h». Затем убедитесь, что высота перпендикулярна именно этому основанию или его продолжению.

Ошибка: записать площадь в линейных единицах или неверно перевести единицы. Путают обозначения, потому что основание и высота даны в сантиметрах, а площадь получается не длиной. Проверьте размерность: сантиметры умножаются на сантиметры, поэтому ответ выражается в см². Если переводите единицы, помните, что квадратная единица переводится как единица площади.

Связь с другими темами

Для вычисления площади параллелограмма нужны его определение и свойства сторон: противоположные стороны параллельны. Также пригодится понятие перпендикуляра и умение находить высоту. Идея преобразования опирается на площадь прямоугольника, равную произведению его сторон.

Формула площади параллелограмма связана с площадями треугольника, ромба и других многоугольников: фигуры можно разбивать на части или преобразовывать. Это помогает решать задачи на составные фигуры. С алгеброй тему связывает преобразование равенства S = ah и выражение неизвестной величины через известные.

Что запомнить

• Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к этому основанию.
• Формула площади: S = ah.
• Основание и соответствующая ему высота образуют пару.
• Высота всегда перпендикулярна основанию или его продолжению.
• Площадь измеряется в квадратных единицах.
• Из формулы следуют равенства a = S/h и h = S/a.
• Для одного параллелограмма можно выбирать разные основания, но высота каждый раз должна соответствовать выбранному основанию.