105. Площадь параллелограмма

Определения и обозначения

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Обычно его вершины обозначают буквами A, B, C, D, а стороны записывают как AB, BC, CD и DA. Это определение помогает отличить параллелограмм от произвольного четырёхугольника и использовать его свойства. Например, у него противоположные стороны равны, поэтому для вычисления площади можно выбрать одну из двух пар оснований.

Основанием параллелограмма называют сторону, относительно которой рассматривают фигуру; его длину часто обозначают буквой a. Высота к основанию — отрезок, перпендикулярный основанию и соединяющий его с прямой, содержащей противоположную сторону; высоту обозначают h. Перпендикулярность означает, что отрезок образует с основанием прямой угол. Эти обозначения нужны, чтобы записать формулу площади и не перепутать высоту с наклонной стороной.

Площадь — величина, показывающая, какую часть плоскости занимает фигура. Её обозначают буквой S, а результат записывают в квадратных единицах: например, см² или м². Формула площади параллелограмма имеет вид S = ah, где a — выбранное основание, а h — высота именно к нему. Такая запись связывает размеры фигуры с количеством единичных квадратов, которые в ней помещаются.

Как это устроено

Чтобы понять, почему площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, представьте фигуру с основанием a и высотой h. Если отрезать у одного края прямоугольный треугольник и перенести его к противоположному краю, получится прямоугольник. Его стороны равны a и h, поэтому площадь равна ah. Перенос не меняет количество места, занимаемого фигурой, а значит, площадь параллелограмма тоже равна ah.

Высота нужна потому, что она задаёт расстояние между параллельными прямыми, содержащими противоположные стороны. Наклонная боковая сторона обычно длиннее этого расстояния и не показывает, насколько широко фигура занимает плоскость в направлении, перпендикулярном основанию. Если умножить основание на такую сторону, получится лишняя площадь. Поэтому к выбранному основанию проводят именно перпендикуляр.

Высоту можно провести к любой стороне параллелограмма, потому что каждую сторону разрешается выбрать основанием. При этом меняются и обозначение основания, и соответствующая высота: для стороны a используют высоту hₐ, а для стороны b — высоту hᵦ. Площадь остаётся одной и той же, поэтому a·hₐ = b·hᵦ. Это равенство удобно, когда одна из высот неизвестна, но известны площадь и соответствующая сторона.

Иногда высота целиком лежит внутри параллелограмма, а иногда её приходится проводить к продолжению стороны. Это зависит от того, острый или тупой угол образует выбранная сторона с соседней. В обоих случаях высотой остаётся кратчайшее перпендикулярное расстояние между параллельными прямыми. Поэтому при построении важно проверять прямой угол, а не то, попал ли отрезок внутрь фигуры.

Формулы и обозначения

Сначала найдите в условии основание и высоту, проведённую именно к нему, затем выберите подходящую строку таблицы. Если ищете площадь, перемножьте основание и высоту; если ищете один из этих отрезков, разделите площадь на другой. Перед вычислением проверьте, что единицы длины согласованы.

Разбор задач

Найдём площадь параллелограмма, если его основание равно 8 см, а высота, проведённая к этому основанию, равна 5 см. В условии даны оба нужных размера, поэтому дополнительное построение или поиск неизвестной величины не требуется. Слово «к этому основанию» важно: оно подтверждает, что высота соответствует стороне длиной 8 см. Нужно применить формулу S = ah.

1. Запишем данные: a = 8 см, h = 5 см. Обе величины выражены в сантиметрах. Значит, после умножения площадь получится в квадратных сантиметрах.

2. Подставим значения в формулу площади: S = ah = 8 · 5. Основание умножается на перпендикулярную высоту, а не на наклонную боковую сторону. Вычислим произведение: 8 · 5 = 40.

3. Запишем единицы площади: S = 40 см². Квадратные сантиметры появляются потому, что перемножены две длины в сантиметрах. Полученный результат соответствует формуле и единицам измерения.

Ответ: 40 см². Проверить ход решения можно, сравнив его с прямоугольником со сторонами 8 см и 5 см: у него такая же площадь, как у исходного параллелограмма. Если бы вместо высоты была дана только боковая сторона, этих сведений для вычисления площади обычно не хватило бы. Тогда понадобились бы высота, угол или другие данные, позволяющие их найти.

Типичные ошибки

• Умножают основание на наклонную боковую сторону. Так поступают, потому что обе величины выглядят как стороны фигуры и их легко принять за нужную пару. Проверьте, образует ли второй отрезок прямой угол с выбранным основанием; если нет, это не высота.

• Берут высоту, проведённую к другой стороне. Ошибка возникает, когда на рисунке несколько перпендикуляров и неясно, какой из них относится к основанию в формуле. Перед подстановкой назовите сторону-основание и убедитесь, что высота перпендикулярна именно ей.

• Записывают площадь в линейных единицах, например в сантиметрах. Это происходит, если забыть, что формула умножает две длины. Проверьте единицы отдельно: см · см = см², а м · м = м².

• Не согласуют единицы до вычислений, например перемножают сантиметры и метры без перевода. В таком случае числовой результат нельзя правильно подписать. Сначала переведите обе длины в одни единицы, затем выполните умножение и проверьте размерность ответа.

Связь с другими темами

Формула площади параллелограмма связана с площадью прямоугольника: перестановка части фигуры превращает параллелограмм в прямоугольник с теми же основанием и высотой. Понятие высоты опирается на перпендикулярность и свойства параллельных прямых, изученные в планиметрии. Если известны угол и стороны, высоту можно находить через прямоугольный треугольник, а затем использовать S = ah. Та же идея переноса частей помогает понять формулы площадей других многоугольников.

Что запомнить

• Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту к этому основанию: S = ah.

• Высота перпендикулярна основанию; наклонная сторона обычно не заменяет её.

• Основанием можно выбрать любую сторону, но высоту нужно брать соответствующую.

• Площадь записывают в квадратных единицах, а перед вычислением длины приводят к одинаковым единицам.