11.5. Площадь параллелограмма

Определения и обозначения

Площадь параллелограмма — величина, показывающая, сколько единичных квадратов покрывает его поверхность; её обозначают буквой S. Единичным называют квадрат со стороной в одну выбранную единицу длины, например один сантиметр. Площадь нужна, чтобы сравнивать, сколько места занимают разные фигуры, и решать практические задачи о поверхностях.

Основание параллелограмма — сторона, выбранная для вычисления площади; его обычно обозначают a или b. В качестве основания можно выбрать любую сторону фигуры, но выбор влияет на то, какую высоту нужно использовать. Это обозначение помогает понять, к какой именно стороне относится вычисление.

Высота параллелограмма — перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую выбранное основание; её обозначают h. Перпендикуляр образует с основанием прямой угол, поэтому высота измеряет расстояние между параллельными сторонами. Она нужна для вычисления площади и не всегда совпадает с боковой стороной.

Формула площади параллелограмма — правило вычисления площади как произведения основания на соответствующую ему высоту: S = ah. Здесь a — выбранное основание, а h — высота именно к нему. Формула позволяет найти площадь, а если известна площадь, — вычислить основание или высоту.

Как это устроено

Связь площади параллелограмма с площадью прямоугольника можно увидеть, если мысленно разделить параллелограмм на части. Для этого проводят высоту от вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Получается прямоугольный треугольник у края фигуры и оставшаяся часть. Такой разрез удобен тем, что с треугольником можно выполнить перенос, не меняя его формы.

Если отрезать этот треугольник и перенести его к противоположному краю параллелограмма, части сложатся в прямоугольник. Сторона треугольника, которая лежала вдоль высоты, помогает получить прямой угол в новом углу прямоугольника. Перенос закрывает наклонный край и не оставляет пустого места: то, что убрали с одной стороны, добавили с другой. Поэтому у получившейся фигуры сохраняется длина выбранного основания, а её ширина равна высоте параллелограмма.

Площадь при разрезании и переносе частей не меняется: ни одна часть не исчезает и не добавляется. Фигуры, занимающие одинаковую площадь, называют равновеликими. Значит, исходный параллелограмм и получившийся прямоугольник равновелики. Это позволяет заменить вычисление площади наклонной фигуры более знакомым вычислением площади прямоугольника.

Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. У полученного прямоугольника эти размеры равны основанию a и соответствующей высоте h исходного параллелограмма. Поэтому площадь параллелограмма равна S = ah. Множитель ½ здесь не нужен: он используется для площади треугольника, а треугольник при разрезании лишь перемещают, чтобы составить прямоугольник.

У параллелограмма можно выбрать разные стороны в качестве основания. К каждой стороне относится своя высота — перпендикулярное расстояние до противоположной параллельной стороны. Например, если сначала считать по основанию a, используют высоту hₐ, а при выборе основания b — высоту hᵦ. Произведения a · hₐ и b · hᵦ дают одну и ту же площадь, хотя множители в них могут быть разными.

Величины в формуле площади параллелограмма

Сначала найдите в таблице обозначения известных величин и проверьте, что основание связано с нужной высотой. Затем выберите формулу для искомой величины: S = ah, h = S : a или a = S : h. В конце укажите квадратные единицы для площади и единицы длины для основания или высоты.

Разбор задач

Задача 1. Основание параллелограмма равно 8 см, а высота, проведённая к нему, равна 5 см. Найдите площадь. Здесь известны оба множителя в формуле площади. Высота дана именно к этому основанию, значит, можно подставить числа без дополнительных вычислений.

1. Запишем формулу площади: S = ah. Она подходит, потому что требуется площадь и известны основание с соответствующей высотой.
2. Подставим значения: S = 8 · 5. Перемножим длины: S = 40.
3. Поскольку перемножались сантиметры на сантиметры, ответ записываем в квадратных сантиметрах.

Ответ: 40 см².

Задача 2. Площадь параллелограмма равна 42 см², а его основание — 7 см. Найдите высоту, проведённую к этому основанию. Неизвестна высота, поэтому из формулы S = ah нужно выразить h. Для этого площадь делят на известное основание.

1. Запишем формулу: S = ah. Разделим обе части равенства на a и получим h = S : a.
2. Подставим данные: h = 42 : 7 = 6. Это длина, а не площадь.
3. Проверим единицы: см² : см = см. Значит, высота выражена в сантиметрах, что соответствует смыслу величины.

Ответ: 6 см.

Задача 3. В параллелограмме ABCD стороны AB и BC равны 12 см и 8 см. Высота, проведённая к AB, равна 5 см. Найдите площадь и высоту, проведённую к BC. Сначала используем данные для стороны AB, потому что к ней указана высота. Затем найденную площадь свяжем с другой стороной и её высотой.

1. Вычислим площадь по основанию AB: S = 12 · 5 = 60 см². Пара сторон, которую использовали, — AB и высота к AB.
2. Обозначим высоту к BC через h. По формуле площади получим 60 = 8h, поэтому h = 60 : 8 = 7,5 см.
3. Проверим результат: 8 · 7,5 = 60 см². Оба основания с соответствующими высотами дают одинаковую площадь.

Ответ: площадь — 60 см², высота к BC — 7,5 см.

Типичные ошибки

Основание умножают на наклонную боковую сторону, хотя нужна высота. Так делают, потому что боковая сторона тоже соединяет вершины фигуры и кажется подходящим множителем. Проверьте, образует ли выбранная длина прямой угол с основанием: если нет, это не высота.

Берут высоту, проведённую к другому основанию. Причина ошибки — не проверяют, к какой стороне относится перпендикуляр, и записывают рядом любые известные длины. Найдите прямой угол: одна его сторона должна лежать на выбранном основании или на прямой, содержащей его.

В формулу добавляют множитель ½, как при вычислении площади треугольника. Это происходит из-за того, что при объяснении формулы параллелограмм разрезают на треугольные части. Но перенос частей не превращает весь параллелограмм в треугольник. Проверьте, какую фигуру требуется измерить: для параллелограмма используют S = ah.

Ответ записывают в единицах длины, например в сантиметрах, а не в квадратных единицах. Так бывает, если забыть, что перемножаются две длины. Проверка проста: если основание и высота даны в сантиметрах, площадь должна быть выражена в см²; если данные неодинаковы, сначала приведите их к одним единицам.

Связь с другими темами

Для работы с площадью параллелограмма нужно знать его определение, уметь распознавать перпендикулярные прямые и помнить формулу площади прямоугольника. Также важно различать единицы длины и квадратные единицы площади. Формулу параллелограмма используют при решении задач о площадях треугольника, ромба и других фигур, которые можно составить из параллелограммов или разбить на них. Она помогает находить неизвестные стороны и высоты в составных фигурах.

Что запомнить

• Площадь параллелограмма равна произведению основания на соответствующую высоту.
• Формула площади: S = ah.
• Высота должна быть перпендикулярна выбранному основанию.
• У каждого основания есть своя соответствующая высота.
• Площадь измеряется в квадратных единицах.
• Из формулы можно найти основание: a = S : h.
• Из формулы можно найти высоту: h = S : a.