"Геометрия", Мерзляк А.Г., Поляков В.М.; под ред. Подольского В.Е.
Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Чтобы измерить площадь такой фигуры, выбирают сторону за основание и находят высоту, перпендикулярную этому основанию. Площадь равна произведению основания на высоту: S = ah. Формула работает для любой выбранной пары противоположных сторон, если правильно сопоставить сторону и высоту. Она помогает находить не только площадь, но и неизвестные основание или высоту.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь параллелограмма — величина части плоскости, которую занимает эта фигура; её обозначают буквой S и измеряют в квадратных единицах. Например, площадь показывает, сколько квадратных сантиметров или квадратных метров помещается внутри параллелограмма. Это помогает сравнивать фигуры и решать задачи о размерах занимаемой ими поверхности. Для вычисления площади нужно выбрать основание и соответствующую ему высоту.
Основание параллелограмма — сторона, выбранная для вычисления площади; его часто обозначают буквой a. Основанием может быть любая из четырёх сторон, но выбор влияет на то, какую высоту нужно взять. Это обозначение позволяет записать общую формулу, не привязываясь к конкретным буквам вершин. В задаче полезно сразу отметить, к какой стороне проведена данная высота.
Высота параллелограмма — перпендикулярный отрезок, проведённый из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону; обычно его обозначают h. Перпендикулярным называют отрезок, который образует с этой прямой прямой угол. Высота показывает расстояние между параллельными сторонами, а не длину наклонной боковой стороны. Поэтому без правильной высоты формула площади даст неверный результат.
Квадратная единица площади — единица измерения, соответствующая квадрату с равными сторонами, например квадратный сантиметр, квадратный дециметр или квадратный метр. Если длины основания и высоты заданы в сантиметрах, их произведение выражается в квадратных сантиметрах. Выбор единицы нужен, чтобы ответ передавал именно площадь, а не длину. При вычислении важно согласовать единицы обеих величин.
У наклонного параллелограмма можно отсечь треугольник у одного края и переместить его к противоположному краю. Так из фигуры получается прямоугольник, не теряющий и не приобретающий части: все исходные кусочки остаются на месте, меняется только их расположение. Значит, площадь нового прямоугольника равна площади параллелограмма. У прямоугольника одна сторона равна выбранному основанию, поэтому остаётся определить длину другой стороны.
Вторая сторона получившегося прямоугольника равна высоте параллелограмма. Высота измеряет расстояние между параллельными прямыми, содержащими основание и противоположную сторону, а кратчайшее расстояние между такими прямыми проходит под прямым углом. Наклонная боковая сторона длиннее этого расстояния и не задаёт ширину прямоугольника при перестановке треугольника. Поэтому боковую сторону нельзя автоматически считать высотой.
Площадь прямоугольника находят умножением его длины на ширину. В прямоугольнике, полученном из параллелограмма, эти размеры равны основанию a и высоте h, проведённой к нему. Поскольку площади фигур до и после перестановки равны, площадь параллелограмма тоже равна произведению этих величин. Получаем формулу S = ah.
У одного параллелограмма можно выбрать другую пару противоположных сторон за основание. Тогда соответствующая высота тоже изменится: она будет измерять расстояние между другой парой параллельных прямых. Но фигура остаётся той же, и перестановка частей по-прежнему даёт прямоугольник той же площади. Поэтому новое произведение основания на его высоту равно прежней площади, хотя отдельные множители могут быть другими.
Формулу можно использовать не только для площади, но и для поиска неизвестного размера. Если известны S и a, равенство S = ah делят на a и получают h = S/a; если известны S и h, делят на h и получают a = S/h. Единицы при этом проверяют заранее: например, см² делят на см, и получается см. Если одна длина дана в метрах, а другая в сантиметрах, сначала удобно привести их к одним единицам.
| Что требуется найти | Обозначение | Формула | Что известно |
|---|---|---|---|
| Площадь параллелограмма | S | S = ah | Основание a и высота h к нему |
| Основание | a | a = S/h | Площадь S и высота h к основанию |
| Высота | h | h = S/a | Площадь S и основание a |
| Единицы измерения площади | S | Квадратные единицы | Например, см², дм² или м² |
Сначала найдите в таблице, какую величину требуется вычислить, и проверьте, что известные данные соответствуют этой строке. Для основания и высоты используйте одну и ту же пару: высота должна быть проведена к выбранному основанию. В последней строке указаны единицы для ответа, а не отдельная формула вычисления.
Основание параллелограмма равно 12 см, а проведённая к нему высота — 7 см. Найдём площадь по формуле. Данные уже относятся к одной паре: высота проведена именно к основанию 12 см, поэтому их можно перемножить. Результат запишем в квадратных сантиметрах.
Ответ: 84 см².
Площадь параллелограмма равна 96 см², основание — 16 см. Требуется найти высоту к этому основанию. В формуле S = ah высота умножается на основание, поэтому для её нахождения нужно разделить площадь на основание. При таком делении квадратные сантиметры сократятся с сантиметрами до сантиметров.
Ответ: 6 см.
В параллелограмме ABCD сторона AB равна 10 см, сторона AD равна 6 см. Перпендикуляр из B к прямой AD имеет длину 8 см. Найдём площадь, выбрав AD основанием: указанная перпендикулярная длина и есть высота к нему. Сторона AB здесь не подходит на роль высоты, потому что в условии перпендикуляр проведён к прямой AD отдельно.
Ответ: 48 см².
Иногда перемножают две соседние стороны, хотя ни одна не является высотой к другой. Так поступают, перенося правило для прямоугольника на наклонный параллелограмм: у прямоугольника соседние стороны перпендикулярны, а у параллелограмма это не обязательно. Перед умножением проверьте, образуют ли основание и второй множитель прямой угол. Если нет, найдите высоту.
Другая ошибка — взять высоту, проведённую к одному основанию, вместе с другим основанием. Площадь получится неверной, потому что эта высота измеряет расстояние до другой пары параллельных прямых. Проверка проста: мысленно проследите, к какой прямой высота перпендикулярна. В формуле она должна соответствовать выбранному основанию.
Ответ иногда записывают в линейных единицах, например в сантиметрах. Это происходит, когда забывают, что умножаются две длины, и результат относится к площади. Проверьте размерность: сантиметры, умноженные на сантиметры, дают квадратные сантиметры. Поэтому ответ должен содержать см², а не см.
При нахождении основания или высоты можно неверно преобразовать S = ah или забыть выполнить деление. Это случается, если не определить, какая величина неизвестна, прежде чем подставлять числа. Запишите нужное выражение отдельно: h = S/a или a = S/h. Затем проверьте результат обратным действием: основание на высоту должно дать исходную площадь.
Для изучения площади параллелограмма нужно знать, что такое параллелограмм и перпендикулярные прямые. Вывод формулы опирается на свойства прямоугольника и правило нахождения его площади: длину умножают на ширину. Эти знания объясняют, почему перестановка части фигуры не меняет площадь. Формула параллелограмма затем помогает находить площади треугольника, ромба и других фигур, которые можно разбить на части или преобразовать в параллелограммы. Её также применяют в задачах, где по площади требуется найти высоту или сторону.
Можно ли считать высотой параллелограмма его боковую сторону?
Только если эта сторона перпендикулярна выбранному основанию. В наклонном параллелограмме боковая сторона обычно наклонена к основанию, поэтому высотой не является.
Почему для площади нужно брать именно перпендикулярную высоту?
При переносе треугольника у края параллелограмма получается прямоугольник, одна сторона которого равна основанию, а другая — перпендикулярному расстоянию между основаниями. Наклонная сторона даёт не это расстояние, поэтому подстановка её вместо высоты приводит к неверной площади.
Изменится ли площадь, если выбрать другую сторону параллелограмма в качестве основания?
Нет, площадь останется прежней. При выборе другой стороны нужно взять высоту, проведённую именно к ней: произведение нового основания на соответствующую высоту даст ту же площадь.
Как найти основание или высоту, если известна площадь?
Из формулы S = ah выразите неизвестную величину: h = S/a, а = S/h. Перед вычислением проверьте, что известная высота проведена к выбранному основанию.
Почему ответ при вычислении площади записывают в квадратных единицах?
Площадь показывает, сколько единичных квадратов помещается внутри фигуры. Поэтому, например, при измерении сторон в сантиметрах результат записывают в квадратных сантиметрах — см².
§ 21. Площадь параллелограмма
