51. Площадь параллелограмма

Определения и обозначения

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Его вершины обычно обозначают A, B, C и D, а стороны — AB, BC, CD и DA. Отрезки AC и BD, соединяющие противоположные вершины, называются диагоналями; эти обозначения помогают точно указывать элементы фигуры в задаче.

Основанием параллелограмма называют сторону, которую выбрали для вычисления площади. Например, у параллелограмма ABCD основанием можно считать AB или любую другую сторону. Выбор основания нужен потому, что к каждой стороне относится своя высота, и в формуле площади нельзя смешивать эти величины.

Высота параллелограмма — перпендикуляр, проведённый из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Перпендикуляр образует с этой прямой угол 90°, поэтому его длина показывает расстояние между параллельными сторонами. Высота иногда падает на продолжение стороны, а не на сам отрезок.

Площадь параллелограмма — величина, показывающая, сколько места занимает фигура на плоскости. Её находят как произведение основания на соответствующую ему высоту: S = ah. Здесь S обозначает площадь, a — длину основания, h — длину проведённой к нему высоты; единица площади получается квадратной.

Как это устроено

Чтобы увидеть, почему площадь параллелограмма связана с прямоугольником, проведём высоту из одной вершины. Она отсекает у края фигуры прямоугольный треугольник. Если этот треугольник перенести к противоположному краю, стороны частей совпадут без наложений и промежутков: длина сдвигается вдоль параллельных сторон, а форма сохраняет размеры.

После перестановки получается прямоугольник, у которого одна сторона равна основанию параллелограмма, а другая — его высоте. Площадь при разрезании и перемещении части фигуры не меняется: мы не добавили и не убрали ни одного участка. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, значит, площадь исходного параллелограмма тоже равна произведению основания и высоты: S = ah.

Высота должна быть перпендикулярна основанию, потому что именно она задаёт расстояние между параллельными прямыми, на которых лежат противоположные стороны. Наклонная боковая сторона соединяет эти прямые, но идёт по диагонали относительно прямого расстояния между ними. Если умножить основание на такую сторону, получится лишняя площадь, которой у фигуры нет; поэтому в формуле нужна высота, а не просто соседняя сторона.

Основанием можно выбрать любую сторону параллелограмма, но при этом нужно взять высоту именно к ней. Например, если вместо AB выбрать BC, перпендикулярное расстояние между другой парой параллельных сторон будет уже другим. Основание может стать короче, а высота — длиннее, или наоборот; площадь фигуры не меняется, поэтому произведения соответствующих основания и высоты равны.

Если известны основание и высота, их перемножают, чтобы найти площадь. Если известны площадь и основание, формулу делят на основание: h = S/a; если известны площадь и высота, получают a = S/h. Перед вычислением проверь, что длины выражены в одинаковых единицах, а основание и высота относятся друг к другу. Так можно находить любую из трёх величин, зная две остальные.

Элементы формулы площади параллелограмма

Сначала найди в условии площадь, основание и высоту и обозначь их буквами из таблицы. При вычислении площади перемножай только основание с соответствующей ему высотой. Если неизвестна одна из величин, выбери нужную преобразованную формулу и проверь единицы.

Разбор задач

Задача 1

Основание параллелограмма равно 8 см, а высота, проведённая к нему, — 5 см. Требуется найти площадь. Поскольку обе нужные величины даны и высота относится именно к этому основанию, применяем формулу S = ah.

1. Запишем формулу площади: S = ah.
2. Подставим значения: S = 8 · 5 = 40.
3. Запишем ответ в квадратных сантиметрах, поскольку перемножались длины в сантиметрах.

Ответ: 40 см².

Задача 2

Площадь параллелограмма равна 54 см², основание — 9 см. Нужно найти высоту к этому основанию. Неизвестна высота, поэтому из равенства S = ah выразим h и разделим площадь на основание.

1. Запишем формулу и выразим высоту: h = S/a.
2. Подставим данные: h = 54/9 = 6.
3. Проверим единицу: см² делим на см, поэтому получаем см.

Ответ: 6 см.

Задача 3

Стороны параллелограмма равны 12 см и 7 см, а высота к стороне 12 см равна 4 см. Требуется найти площадь и высоту к стороне 7 см. Сначала используем пару данных, для которой основание и высота уже соответствуют друг другу, а затем применим найденную площадь повторно.

1. Найдём площадь по стороне 12 см: S = 12 · 4 = 48 см².
2. Обозначим высоту к стороне 7 см через h и запишем 48 = 7h.
3. Разделим обе части на 7: h = 48/7 см = 6 6/7 см.

Ответ: площадь равна 48 см², высота к стороне 7 см равна 48/7 см, или 6 6/7 см. Проверка показывает, что 7 · 48/7 = 48 см².

Типичные ошибки

Иногда перемножают две соседние стороны, принимая боковую сторону за высоту. Так поступают, потому что в прямоугольнике соседние стороны перпендикулярны, но у наклонного параллелограмма это не обязательно. Проверь себя: высота должна образовывать с основанием прямой угол; если угол не 90°, сторона не заменяет высоту.

Другая ошибка — взять высоту, проведённую к одной стороне, и умножить её на другую. Это происходит, когда в записи замечают только числа, но не следят за тем, к какой стороне проведён перпендикуляр. Перед вычислением подпиши основание и высоту одной буквой пары, например a и h к нему, и убедись, что они соответствуют друг другу.

При ответе иногда пишут см вместо см². Причина в том, что внимание сосредоточено на умножении чисел, а не на единицах измерения. Проверка проста: сантиметр, умноженный на сантиметр, даёт квадратный сантиметр; площадь всегда записывают в квадратных единицах.

При поиске неизвестной величины некоторые снова умножают данные числа, хотя нужно выполнить деление. Так бывает, если не выразить неизвестную букву из исходной формулы. Запиши S = ah и преобразуй равенство: для основания или высоты площадь делят на известную длину; затем проверь результат обратной подстановкой.

Связь с другими темами

Для этой темы пригодятся определение параллелограмма и свойства параллельных прямых: именно они объясняют, почему противоположные стороны фигуры образуют пары. Понадобится и понятие перпендикуляра, ведь высота должна образовывать прямой угол с основанием. Связь с площадью прямоугольника помогает понять и обосновать формулу параллелограмма.

Разбиение параллелограмма на треугольники помогает объяснять, как из известных площадей получать новые. Похожие приёмы используются при выводе формул площадей других фигур. Позже формула пригодится при вычислении площадей составных фигур и в задачах, где нужно находить высоты, стороны или углы.

Что запомнить

• Площадь параллелограмма равна произведению основания на соответствующую высоту.
• Высота параллелограмма перпендикулярна прямой, содержащей основание.
• К одной стороне параллелограмма можно провести свою соответствующую высоту.
• При смене основания меняется соответствующая высота, но площадь остаётся прежней.
• Площадь измеряется в квадратных единицах.
• Из формулы S = ah следуют формулы a = S/h и h = S/a.