"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Площадь треугольника показывает, сколько места на плоскости занимает фигура. Чтобы её найти, выбирают сторону в качестве основания и определяют высоту, проведённую именно к этой стороне. Площадь равна половине произведения основания на соответствующую высоту: S = ½ah. Основанием может быть любая сторона, а в тупоугольном треугольнике высота иногда проходит вне его. Формула помогает вычислять площади фигур и решать задачи, в которых треугольники являются частью многоугольника.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь треугольника — величина, показывающая, какую часть плоскости занимает треугольник. Её обозначают заглавной латинской буквой S. Площадь нужна, чтобы сравнивать размеры фигур и находить площадь более сложных фигур, разбивая их на треугольники.
Основание треугольника — сторона, выбранная для вычисления площади. Её можно обозначить буквой a, b или другой буквой, если так обозначены стороны на чертеже. Выбор основания задаёт, к какой стороне нужно провести высоту.
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. Перпендикуляр образует с этой прямой прямой угол, поэтому высоту нельзя путать с наклонным отрезком. В тупоугольном треугольнике высота может проходить за пределами треугольника.
Формула площади треугольника — правило, по которому площадь равна половине произведения основания на проведённую к нему высоту. Если основание обозначено a, а высота к нему — h, то S = ½ah. Она помогает вычислить площадь, когда известны длины этих двух отрезков.
Уже знакомая формула площади параллелограмма — произведение основания на высоту. Если провести в параллелограмме диагональ, она разделит его на два треугольника. Эти треугольники равны, значит, имеют одинаковые площади, а каждый занимает ровно половину площади параллелограмма.
Чтобы применить это рассуждение, нужно связать треугольник с подходящим параллелограммом. Продлим стороны треугольника и достроим фигуру так, чтобы параллелограмм имел с ним общее основание и такую же высоту. Тогда площадь параллелограмма вычисляется умножением основания на высоту, а площадь треугольника равна половине полученного результата.
Пусть выбранное основание треугольника равно a, а высота, проведённая к нему, равна h. Соответствующий параллелограмм имеет площадь ah, поэтому площадь треугольника равна половине этой величины: S = ½ah. Например, если основание измерено в сантиметрах, а высота тоже в сантиметрах, их произведение выражается в квадратных сантиметрах.
Основанием можно назвать любую сторону треугольника: для каждой стороны существует своя высота. Если взять сторону b, нужно использовать высоту hᵦ, проведённую именно к ней, и получится S = ½bhᵦ. Нельзя сочетать длину одной стороны с высотой к другой: такие отрезки не задают один и тот же параллелограмм.
В тупоугольном треугольнике основание иногда приходится продолжить, чтобы из противоположной вершины можно было провести перпендикуляр. Хотя часть высоты оказывается снаружи треугольника, расстояние от вершины до прямой основания остаётся нужной высотой. Поэтому формула не меняется: важно, чтобы отрезок образовывал прямой угол с прямой, содержащей основание.
| Выбранное основание | Соответствующая высота | Формула площади | Что важно проверить |
|---|---|---|---|
| Сторона a | Высота hₐ, проведённая к стороне a | S = ½ahₐ | Основание и высота относятся друг к другу |
| Сторона b | Высота hᵦ, проведённая к стороне b | S = ½bhᵦ | Высота может быть проведена к продолжению стороны |
Сначала выбери основание, затем найди или отметь на чертеже высоту к нему. Проверь, что эти отрезки образуют прямоугольную пару: высота перпендикулярна прямой основания. После этого подставь длины в подходящую строку таблицы.
Задача 1. Основание треугольника равно 8 см, а высота, проведённая к нему, — 5 см. Найдите площадь. Известны основание и соответствующая ему высота, поэтому можно сразу воспользоваться формулой S = ½ah.
Ответ: 20 см².
Задача 2. Площадь треугольника равна 30 см², основание — 10 см. Найдите высоту, проведённую к этому основанию. Здесь неизвестна высота, поэтому преобразуем формулу площади: из S = ½ah следует h = 2S/a.
Ответ: 6 см.
Задача 3. В тупоугольном треугольнике основание равно 12 см, а расстояние от противоположной вершины до прямой, содержащей основание, — 7 см. Найдите площадь. Это расстояние перпендикулярно прямой основания, значит, оно является высотой, даже если попадает на продолжение стороны.
Ответ: 42 см².
Иногда основание умножают на высоту, но забывают разделить результат на 2. Так делают, если запоминают формулу площади параллелограмма, но не учитывают, что треугольник составляет его половину. Проверь себя: в записи должна быть половина произведения, то есть S = ½ah.
Другая ошибка — подставить высоту, проведённую к другой стороне. Её допускают, когда смотрят только на длины отрезков, а не на то, откуда и куда проведена высота. Перед вычислением проверь обозначения: основание a сочетается с hₐ, основание b — с hᵦ.
Наклонный отрезок от вершины к основанию иногда принимают за высоту. Причина ошибки — на чертеже он может выглядеть похожим на перпендикуляр. Убедись, что у основания отрезка отмечен или по условию следует прямой угол; без него отрезок не является высотой.
В тупоугольном треугольнике можно ошибочно искать высоту только внутри фигуры. Но высота проводится к прямой, содержащей основание, поэтому она может попасть на продолжение стороны. Проверь, что расстояние измерено по перпендикуляру от вершины до этой прямой, а не до наклонного участка стороны.
Для вывода формулы площади треугольника нужна формула площади параллелограмма, а также понимание того, что перпендикуляр образует прямой угол. Высота треугольника — частный случай такого перпендикуляра, проведённого к прямой основания.
Площадь треугольника пригодится при вычислении площади многоугольника, который можно разделить на несколько треугольников. Площади частей находят отдельно, а затем складывают. Так формула становится инструментом для решения задач с более сложными фигурами.
В дальнейшем площади треугольников рассматривают в задачах на подобие и отношения площадей. Связь между длинами сторон и площадями помогает сравнивать фигуры и находить неизвестные величины.
Почему в формуле площади треугольника нужно делить произведение основания на высоту пополам?
Диагональ делит параллелограмм на два равных по площади треугольника. У такого параллелограмма основание и высота те же, поэтому площадь одного треугольника составляет половину произведения основания на высоту.
Можно ли выбрать основанием любую сторону треугольника?
Да, основанием можно выбрать любую из трёх сторон. Но для формулы нужно взять высоту, проведённую именно к выбранной стороне.
Как найти площадь, если известны основание и высота к другой стороне?
Нельзя подставлять в формулу высоту, которая относится к другой стороне. Нужно найти высоту к выбранному основанию или выбрать основанием ту сторону, к которой проведена известная высота.
Где проходит высота тупоугольного треугольника?
Высота — это перпендикуляр из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. В тупоугольном треугольнике она может проходить вне треугольника и падать на продолжение стороны.
В каких единицах записывают площадь треугольника?
Площадь записывают в квадратных единицах: например, в см² или м². Если основание и высота измерены в сантиметрах, результат будет в квадратных сантиметрах.
52. Площадь треугольника
