"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Площадь треугольника показывает, сколько места занимает фигура, и измеряется в квадратных единицах. Чтобы её найти, выбирают сторону за основание и проводят к ней перпендикулярную высоту. Площадь равна половине произведения основания на эту высоту: S = ½ · a · h. Основанием может быть любая сторона, но высоту каждый раз нужно выбирать соответствующую. Она иногда проходит вне треугольника — например, если один из его углов тупой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь треугольника — величина, показывающая, сколько единичных квадратов покрывает треугольник; её обычно обозначают буквой S. Единичным называют квадрат со стороной в одну единицу длины. Площадь помогает измерять размер фигуры и сравнивать её с другими фигурами.
Основание треугольника — сторона, выбранная для вычисления площади. Любую из трёх сторон можно обозначить основанием, например a. Выбор основания нужен, чтобы определить, какую высоту использовать в формуле.
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. Перпендикуляр образует с этой прямой угол 90°. Для выбранного основания берут именно соответствующую ему высоту, часто обозначаемую h.
Формула площади треугольника — S = ½ · a · h, где a — основание, а h — проведённая к нему высота. Она позволяет найти площадь, если длины этих двух отрезков известны. Запись подчёркивает, что произведение основания и высоты нужно разделить на два.
Связь площади треугольника с параллелограммом помогает понять, откуда берётся формула. Проведём диагональ параллелограмма: она разобьёт его на два треугольника. Эти треугольники равны, поэтому их площади одинаковы и вместе составляют площадь параллелограмма. Значит, площадь каждого из них — половина площади всей фигуры.
Если у параллелограмма основание равно a, а высота к нему — h, его площадь равна a · h. Два равных треугольника, на которые его делит диагональ, имеют такое же основание и такую же высоту. Поэтому площадь одного треугольника равна половине произведения a · h: S = ½ · a · h. Деление на два здесь не условность: оно учитывает, что треугольник занимает половину такого параллелограмма.
Основанием можно выбрать любую сторону, потому что для каждой стороны существует высота из противоположной вершины. Но длина высоты меняется вместе с выбором основания. Например, если взять сторону b, нужно подставить высоту к b, а не высоту к стороне a. При правильном выборе основание и высота дают одну и ту же площадь независимо от того, какая сторона взята.
Расположение высоты зависит от углов треугольника. В остроугольном треугольнике все углы меньше прямого, поэтому перпендикуляры из вершин к противоположным сторонам попадают внутрь фигуры. В прямоугольном треугольнике два катета перпендикулярны: один катет можно взять основанием, а другой будет соответствующей высотой. В тупоугольном треугольнике высота из одной из острых вершин может попасть не на сторону, а на её продолжение.
Из формулы можно выразить неизвестную величину, если остальные известны. Чтобы найти высоту, умножают площадь на два и делят на основание: h = 2S / a. Чтобы найти основание, делят удвоенную площадь на высоту: a = 2S / h. Такие преобразования помогают решать задачи не только на площадь, но и на длину одного из отрезков.
| Выбранное основание | Соответствующая высота | Формула площади |
|---|---|---|
| Сторона a | Высота к стороне a | S = ½ · a · hₐ |
| Сторона b | Высота к стороне b | S = ½ · b · hᵦ |
| Сторона c | Высота к стороне c | S = ½ · c · h𝒸 |
| Любая сторона | Высота к выбранной стороне | Половина произведения основания на соответствующую высоту |
Сначала выбери сторону, которую удобно считать основанием, а затем найди высоту к ней. Индексы у высот напоминают, к какой стороне они проведены. Подставляй в формулу только пару соответствующих величин.
Из условия известны основание и соответствующая высота, поэтому можно сразу применить формулу площади. Обозначим основание буквой a, высоту — h. Подстановка значений даст площадь в квадратных сантиметрах, так как обе длины заданы в сантиметрах.
Ответ: 20 см².
Здесь неизвестна высота, поэтому сначала выразим её из формулы площади. Умножение на ½ означает, что площадь равна половине произведения основания на высоту. Удвоим площадь, а затем разделим результат на известное основание.
Ответ: 8 см.
Высота может опуститься на продолжение основания, если треугольник тупоугольный. Это не мешает вычислению: в формуле нужна длина перпендикуляра к прямой основания, а не условие, что он лежит внутри фигуры. Значит, используем данные так же, как и в обычном случае.
Ответ: 42 см².
Некоторые умножают основание на высоту и останавливаются, забывая разделить результат на два. Так находят площадь параллелограмма, а не треугольника: диагональ делит такой параллелограмм на два равных треугольника. Проверь себя: в записи должно быть S = ½ · a · h.
Другая ошибка — взять высоту, проведённую к стороне, отличной от выбранного основания. Она кажется подходящей, если просто выходит из вершины, но длина относится к другой паре отрезков. Проверка простая: высота должна начинаться в противоположной основанию вершине и быть перпендикулярной именно его прямой.
Наклонную сторону иногда принимают за высоту, особенно если она расположена рядом с основанием. Но высота образует с основанием прямой угол, а сторона может быть наклонена. Отметь прямой угол или проверь перпендикулярность, прежде чем подставлять длину в формулу.
При тупом угле можно ошибочно решить, что высота не существует, если перпендикуляр не попадает внутрь треугольника. Тогда продолжают сторону, на прямую которой опускается перпендикуляр. Проверь, что высота всё равно образует с этой прямой угол 90°: её положение вне фигуры не отменяет определения.
Для работы с высотой нужно знать, что такое перпендикуляр: именно он задаёт прямой угол с основанием. Полезно также уметь находить площадь прямоугольника и параллелограмма, поскольку формула треугольника объясняется через площадь параллелограмма. Если многоугольник можно разбить на треугольники, его площадь находят сложением площадей этих частей. Связь стороны и соответствующей высоты пригодится и при изучении других формул площадей.
Почему в формуле площади треугольника нужно делить произведение основания на высоту пополам?
Параллелограмм с таким же основанием и высотой имеет площадь a · h. Его диагональ делит фигуру на два равных по площади треугольника, поэтому площадь одного из них вдвое меньше.
Можно ли выбрать основанием любую сторону треугольника?
Да, любую сторону можно принять за основание. Для неё нужно использовать высоту, проведённую именно к этой стороне или к прямой, на которой она лежит.
Как понять, какая высота соответствует выбранному основанию?
Найдите противоположную основанию вершину и проведите из неё перпендикуляр к прямой, содержащей основание. Этот перпендикуляр и будет нужной высотой.
Может ли высота треугольника проходить вне его?
Да. В тупоугольном треугольнике высота, проведённая из одной из острых вершин, может попасть на продолжение противоположной стороны. Она всё равно считается высотой, потому что перпендикулярна прямой, содержащей эту сторону.
Как найти высоту, если известны площадь треугольника и основание?
Преобразуйте формулу S = ½ · a · h: высота h = 2S / a. Подставьте значения площади и основания, не забывая записать высоту в единицах длины.
11.4. Площадь треугольника
