126. Площадь треугольника

Определения и обозначения

Площадь треугольника — величина, показывающая, какую часть плоскости занимает треугольник; её обозначают буквой S. Площадь нужна, чтобы сравнивать размеры фигур и вычислять, сколько места они занимают. Измеряют её в квадратных единицах: см², м² и других.

Основание треугольника — сторона, выбранная для вычисления площади. Одну и ту же фигуру можно рассматривать с любым из трёх оснований. Выбор основания определяет, какую именно высоту нужно использовать дальше.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. Перпендикуляр образует с этой прямой прямой угол. Высота нужна для определения расстояния от вершины до основания.

Площадь треугольника по основанию и высоте равна половине произведения длины основания на длину проведённой к нему высоты: S = ah/2. Здесь a — основание, а h — соответствующая высота. Эта запись связывает две длины с площадью фигуры.

Как это устроено

Связь треугольника с параллелограммом объясняет саму формулу площади. Если к треугольнику присоединить равный ему треугольник, получится параллелограмм. У полученной фигуры сохраняются то же основание и та же высота, потому что расстояние между параллельными сторонами не меняется.

Площадь параллелограмма вычисляют умножением основания на высоту: Sп = ah. Составив параллелограмм из двух равных треугольников, мы видим, что каждый из них занимает одну вторую его площади. Поэтому для треугольника получается формула S = ah/2, а не S = ah.

Формула подходит к любой выбранной стороне, потому что каждый раз рассматривается своя пара: основание и перпендикулярная ему высота. Например, для сторон a, b и c можно использовать соответственно высоты ha, hb и hc. Поэтому у одного треугольника есть три возможные пары основания и высоты, дающие одну и ту же площадь.

Высота не обязана целиком находиться внутри треугольника. В остроугольном треугольнике она обычно попадает на сторону, а в тупоугольном некоторые высоты падают на продолжения сторон. Площадь зависит от перпендикулярного расстояния до прямой основания, поэтому положение точки за пределами стороны не меняет формулу.

Из равенства S = ah/2 можно получить другие полезные формулы. Умножив обе части на 2 и разделив на h, найдём основание: a = 2S/h. Если разделить на a, получим высоту: h = 2S/a; такие преобразования позволяют решать задачи с неизвестной длиной.

Площадь треугольника: основание и соответствующая высота

Сначала определите, какие величины известны, и найдите именно соответствующие друг другу основание и высоту. Затем выберите строку таблицы с нужной формулой. После вычисления проверьте единицы: длина должна быть в сантиметрах, а площадь — в квадратных сантиметрах.

Разбор задач

Задача 1

Основание треугольника равно 12 см, а проведённая к нему высота — 5 см. Требуется найти площадь. Основание и высота уже соответствуют друг другу, поэтому можно сразу применить основную формулу.

1. Запишем формулу: S = ah/2.
2. Подставим значения: S = 12 · 5 / 2 = 60 / 2 = 30 см².
3. Проверим результат: при одинаковых длинах произведение основания и высоты делится пополам, поэтому площадь меньше 60 см².

Ответ: 30 см².

Задача 2

Площадь треугольника равна 42 см², а высота к основанию — 7 см. Нужно найти основание. Неизвестно a, поэтому преобразуем формулу площади, а не подставляем данные в исходную запись без изменений.

1. Из S = ah/2 выразим основание: a = 2S/h.
2. Подставим числа: a = 2 · 42 / 7 = 84 / 7 = 12 см.
3. Проверим подстановкой: 12 · 7 / 2 = 42 см², значит вычисление выполнено верно.

Ответ: 12 см.

Задача 3

В тупоугольном треугольнике основание равно 10 см, а высота к прямой, содержащей это основание, равна 6 см. Точка, в которой высота пересекает прямую, может находиться за пределами самого основания. Для площади важна длина перпендикуляра до прямой, поэтому формула сохраняется.

1. Берём основание a = 10 см и соответствующую высоту h = 6 см.
2. Вычисляем: S = 10 · 6 / 2 = 60 / 2 = 30 см².
3. Не учитываем положение основания на прямой отдельно: оно не влияет на произведение длин.

Ответ: 30 см²; высота на продолжении стороны не мешает применить формулу.

Типичные ошибки

Забывают разделить произведение на 2 и получают площадь параллелограмма, а не треугольника. Такая ошибка появляется из-за сходства формул. Проверьте себя: после подстановки обязательно найдите половину произведения ah.

Подставляют высоту, проведённую к другой стороне. Причина — не замечают, к какому основанию относится перпендикуляр. Проведите мысленно прямой угол: выбранные основание и высота должны быть связаны именно с ним.

Считают высотой наклонный отрезок от вершины к стороне. Он может соединять нужные точки, но без прямого угла высотой не является. Проверьте, перпендикулярен ли отрезок прямой основания или её продолжению.

Записывают площадь в сантиметрах, а не в квадратных сантиметрах. Площадь получается из произведения двух длин, поэтому единица тоже возводится в квадрат. В конце решения подпишите см², м² или другую квадратную единицу.

Связь с другими темами

Для применения формулы нужно знать площадь параллелограмма и понимать, что его высота является перпендикуляром к основанию или его продолжению. Это объясняет, откуда в формуле треугольника появляется множитель ½. Без различения стороны и высоты легко выбрать неверные данные.

Формула площади треугольника используется при вычислении площадей многоугольников. Сложные фигуры можно разбить на треугольники, найти площади частей и сложить их. Она также помогает сравнивать фигуры с одинаковыми основаниями или высотами.

Что запомнить

• Площадь треугольника равна половине произведения основания на соответствующую высоту.
• Формула: S = ah/2.
• Основанием можно выбрать любую сторону треугольника.
• Высота должна быть проведена именно к выбранному основанию.
• Высота тупоугольного треугольника может лежать вне треугольника.
• Площадь измеряют в квадратных единицах.