127. Равновеликие фигуры

Определения и обозначения

Площадь фигуры — величина, которая характеризует, сколько места занимает фигура на плоскости. Её выражают числом и указывают единицу измерения, например квадратный сантиметр (см²). Площадь нужна, чтобы сравнивать размеры фигур и выполнять вычисления. Число без единицы измерения не сообщает, в каких единицах получен результат.

Равновеликие фигуры — фигуры, площади которых равны. Например, если площадь одной фигуры равна 12 см² и площадь другой тоже равна 12 см², они равновелики. Это определение позволяет сравнивать фигуры по занимаемой ими площади, даже если их контуры устроены по-разному.

Равные фигуры — фигуры, которые можно совместить наложением. Равные фигуры совпадают не только по площади, но и по форме и размерам. Равновеликие фигуры могут иметь разные очертания и не совмещаться, поэтому равенство фигур — более строгое условие, чем равенство их площадей.

Площадь многоугольника можно находить, разбивая его на части, площади которых известны. Для этого проводят отрезки внутри многоугольника и получают более простые фигуры. Затем складывают площади частей, если они не перекрываются и составляют весь многоугольник. Такой способ полезен, когда всю фигуру трудно измерить или вычислить сразу.

Как это устроено

Сравнить площади двух сложных фигур по одному лишь виду бывает трудно: вытянутая фигура может занимать столько же места, сколько более широкая. Поэтому фигуры удобно разрезать на части и сравнивать эти части. Разбиение превращает трудную задачу в несколько более простых сравнений. Если части удаётся сопоставить, становится понятнее, равны ли площади целых фигур.

Разрезание само по себе не меняет площадь: при нём фигура только разделяется на области, а не теряет и не добавляет их. Если полученные части переложить, не растягивая и не накладывая одну на другую, их площади сохраняются. Поэтому, когда две фигуры составлены из одинаковых по площади частей, общая площадь у них одинакова. Такое рассуждение обосновывает равновеликость без измерения контуров.

Когда фигура состоит из неперекрывающихся частей, её площадь равна сумме площадей этих частей. Причина в том, что каждая часть занимает свою область, а вместе части покрывают всю фигуру. Если какая-то область пропущена или части наложились, сумма уже не описывает площадь фигуры правильно. Поэтому перед сложением нужно проверить и полноту разбиения, и отсутствие перекрытий.

Одинаковая площадь не означает одинаковую форму, потому что площадь сообщает только общий размер занимаемой области, а не вид границы. Например, квадрат можно разрезать на два прямоугольных треугольника по диагонали. Эти части можно расположить иначе и получить фигуру с другим контуром, сохранив ту же общую площадь. Значит, фигуры могут быть равновеликими, хотя наложением их совместить нельзя.

Равновеликость помогает сравнивать площади сложных фигур, когда измерить всю фигуру напрямую неудобно. Её можно разбить на простые части, площади которых известны, или сопоставить эти части с частями другой фигуры. После этого используют равенство площадей соответствующих частей и сложение площадей. Так задача о сравнении целых фигур сводится к проверяемым действиям с их частями.

Сравнение фигур по равенству и площади

Сначала определите, что именно известно: возможность совместить фигуры или только равенство их площадей. Затем проверьте, что части действительно покрывают фигуру без наложений. Таблица помогает выбрать верный вывод и не путать равенство фигур с равновеликостью.

Разбор задач

Задача 1

Даны два прямоугольника с одинаковыми длиной и шириной. Объясните, почему они равны и равновелики. Одинаковые размеры означают, что у прямоугольников совпадают соответствующие стороны и углы. Значит, один прямоугольник можно совместить с другим.

1. Совместим прямоугольники так, чтобы совпали стороны одинаковой длины. Их углы при этом тоже совпадут, потому что все углы прямоугольника прямые.
2. Получили совпадающие фигуры, поэтому прямоугольники равны. У равных фигур площади одинаковы, значит, эти прямоугольники также равновелики.

Ответ: прямоугольники равны, потому что совмещаются наложением, и равновелики, потому что их площади равны.

Задача 2

Многоугольник разрезали на два неперекрывающихся треугольника с площадями 8 см² и 11 см². Найдите площадь многоугольника. Треугольники не перекрываются и вместе составляют весь многоугольник. Поэтому можно применить сложение площадей частей.

1. Запишем площади двух частей: 8 см² и 11 см². У обеих частей одна и та же единица измерения.
2. Сложим площади: 8 + 11 = 19. Полученное число показывает площадь всего многоугольника.

Ответ: 19 см².

Задача 3

Две фигуры различной формы разбиты на части так, что частям одной фигуры можно попарно сопоставить равные части другой. Докажите, что фигуры равновелики. Здесь важно, что речь идёт о равных частях в каждой паре, а не о совпадении целых фигур. Сложение площадей позволит перейти от частей к исходным фигурам.

1. Обозначим пары соответствующих частей. Площади частей в каждой паре равны, поэтому суммы площадей всех частей двух фигур тоже равны.
2. Убедимся, что каждое разбиение покрывает всю свою фигуру и части не перекрываются. Тогда сумма площадей частей равна площади соответствующей целой фигуры.
3. Получаем равенство площадей целых фигур. По определению эти фигуры равновелики, хотя их форма различна.

Ответ: фигуры равновелики, так как состоят из попарно равных по площади частей.

Типичные ошибки

Ошибка — считать равновеликие фигуры обязательно равными. Это происходит потому, что в обоих случаях встречается слово «равны», но в одном случае речь идёт о фигурах, а в другом — об их площадях. Проверьте, что именно дано: возможность совместить фигуры или только равенство площадей. Если контуры не совпадают, фигуры всё ещё могут быть равновеликими.

Нельзя объявлять фигуры равновеликими только по внешнему виду или по длине одной стороны. Одинаковая длина стороны не сообщает площадь всей фигуры, а похожий контур не доказывает равенство площадей. Такую ошибку допускают, когда делают вывод без вычисления или разбиения. Для проверки найдите площади или обоснуйте их равенство через соответствующие части.

При сложении площадей нужно проверить, что части не перекрываются и вместе составляют всю фигуру. Если часть фигуры пропущена, сумма окажется меньше нужной площади; если области наложились, одна и та же площадь будет учтена дважды. Перед вычислением мысленно восстановите исходную фигуру из частей. Только после этой проверки складывайте их площади.

Нельзя складывать числовые значения площадей, записанные в разных единицах, например 2 см² и 3 дм². Ошибка возникает, если воспринимать числа отдельно от единиц и не учитывать, что квадратные единицы имеют разный размер. Сначала переведите значения в одну и ту же единицу, а затем выполните сложение. В конце проверьте, что ответ записан в этой единице.

Связь с другими темами

Для изучения равновеликости нужно знать, что такое фигура, многоугольник и равные фигуры. Также важно уметь делить многоугольник на более простые части и понимать, когда части покрывают исходную фигуру без перекрытий. Эти знания помогают обосновать, почему площади частей можно складывать. Равновеликость пригодится при дальнейшем выводе и применении формул площадей многоугольников: сложную фигуру можно представить как набор более простых.

Что запомнить

• Равновеликие фигуры имеют равные площади.
• Равновеликость не означает равенства фигур.
• Фигуры разной формы могут быть равновеликими.
• Площадь составной фигуры равна сумме площадей её неперекрывающихся частей.
• Разбиение и перекладывание частей помогают сравнивать площади.
• При вычислениях площади должны быть выражены в одинаковых единицах.