128. Площадь трапеции

Определения и обозначения

Трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны не пересекаются, даже если продолжить их. Это определение помогает отличить трапецию от других четырёхугольников.

Основания трапеции — её параллельные стороны; их длины обозначим буквами a и b. Боковые стороны соединяют концы оснований и не параллельны друг другу. Для вычисления площади нужны именно длины оснований, поэтому сначала следует определить, какая пара сторон параллельна.

Высота трапеции — перпендикулярное расстояние между прямыми, содержащими её основания; обозначим высоту буквой h. Перпендикуляр образует с основаниями прямой угол. Высота нужна для вычисления площади, а наклонная боковая сторона не всегда имеет такую же длину.

Площадь трапеции — величина, выражающая размер части плоскости, ограниченной трапецией; её обозначают S. Площадь показывает, сколько места занимает фигура на плоскости. Её измеряют квадратными единицами, например квадратными сантиметрами.

Как это устроено

Проведём диагональ из одной вершины трапеции в противоположную. Она разделит четырёхугольник на два треугольника, которые вместе составляют всю трапецию и не перекрывают друг друга. У одного треугольника можно взять основанием сторону длины a, у другого — сторону длины b.

Высоты этих треугольников относительно выбранных оснований равны h. Основания треугольников лежат на прямых, содержащих основания трапеции, а расстояние между этими параллельными прямыми постоянно. Поэтому наклон диагонали не меняет высоты треугольников: она лишь делит трапецию на части.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Значит, площади полученных треугольников равны ah/2 и bh/2. Важно брать для каждого треугольника соответствующее основание трапеции, а не его боковую сторону.

Сложим площади двух треугольников, потому что вместе они полностью покрывают трапецию, не оставляя пустого места и не накладываясь. Получаем S = ah/2 + bh/2. Вынесем общий множитель h/2 за скобки: S = (a + b)h/2.

Сумма a + b, разделённая на 2, — это полусумма оснований, поэтому площадь равна произведению высоты на полусумму оснований. Формула не зависит от наклона боковых сторон: в ней используются только основания и расстояние между ними. Значит, трапеции с одинаковыми основаниями и высотой имеют одинаковую площадь, даже если их боковые стороны выглядят по-разному.

Элементы трапеции и формула её площади

Сначала найди на чертеже параллельные стороны и определи их длины, затем отдельно найди высоту. Подставь значения в формулу и проверь, что единицы измерения согласованы. Если известны площадь и основания, можно преобразовать формулу и найти высоту.

Разбор задач

Задача 1

Основания трапеции равны 6 см и 10 см, высота — 4 см. Найдём площадь. Длины оснований и высота уже известны, поэтому можно сразу подставить их в формулу S = (a + b)h/2. Сначала найдём полусумму оснований, затем умножим её на высоту.

1. Сложим основания: 6 + 10 = 16 см.
2. Разделим сумму на 2 и умножим на высоту: S = 16 · 4/2 = 32 см².
3. Запишем квадратные единицы, потому что площадь — это произведение двух длин.

Ответ: 32 см².

Задача 2

Площадь трапеции равна 45 см², основания — 7 см и 11 см. Требуется найти высоту. В формуле площадь — результат умножения полусуммы оснований на высоту, поэтому нужно выразить высоту через площадь. Удвоим площадь и разделим её на сумму оснований.

1. Сложим основания: 7 + 11 = 18 см.
2. Преобразуем формулу: h = 2S/(a + b).
3. Подставим данные: h = 2 · 45/18 = 90/18 = 5 см.
4. Проверим: (7 + 11) · 5/2 = 45 см², значит, результат подходит.

Ответ: высота равна 5 см.

Задача 3

Площадь трапеции равна 72 см², высота — 8 см, одно основание на 4 см длиннее другого. Найдём оба основания. Сначала формула площади позволит вычислить их сумму, а условие даст разность. Обозначим меньшее основание x см, тогда большее равно x + 4 см.

1. Из S = (a + b)h/2 найдём сумму: a + b = 2S/h = 2 · 72/8 = 18 см.
2. Составим уравнение по сумме: x + (x + 4) = 18.
3. Решим его: 2x + 4 = 18, 2x = 14, x = 7 см. Большее основание равно 7 + 4 = 11 см.
4. Проверим сумму и разность: 7 + 11 = 18, 11 − 7 = 4.

Ответ: 7 см и 11 см.

Типичные ошибки

Подставляют длину боковой стороны вместо высоты. Это происходит потому, что на рисунке боковая сторона тоже соединяет основания, но обычно она наклонена и длиннее перпендикулярного расстояния между ними. Проверь себя: высота должна образовывать прямой угол с основаниями. Если на чертеже не показан прямой угол, не считай боковую сторону высотой без дополнительных данных.

Умножают сумму оснований на высоту, но забывают разделить на 2. Так можно ошибиться, если запомнить только сложение и умножение в формуле. Разделение на 2 появляется из формулы площади треугольника, из которых складывается трапеция. Для проверки сравни запись с S = (a + b)h/2 или сначала найди полусумму оснований.

Берут за основания непараллельные стороны. Такое случается, если ориентироваться только на расположение сторон на рисунке, а не на их свойства. Основаниями являются именно две параллельные стороны, остальные называются боковыми. Проверь параллельность сторон по условию или по отметкам на чертеже до подстановки чисел.

Записывают площадь в линейных единицах, например в сантиметрах. Причина в том, что в условии обычно все длины даны в сантиметрах, но площадь получается при умножении двух длин. Поэтому при основаниях и высоте в сантиметрах ответ записывают в см². Самопроверка: единица площади всегда квадратная, например мм², см² или м².

Связь с другими темами

Для вывода формулы площади трапеции нужно знать, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Также необходимо понимать высоту как перпендикулярное расстояние между параллельными прямыми: благодаря этому у двух треугольников получается одна и та же высота. Если известны площадь и высота, можно найти сумму оснований, а при дополнительном условии — и каждое основание отдельно. Формула пригодится при вычислении площадей составных многоугольников: такую фигуру можно разделить на трапеции и другие простые части.

Что запомнить

• Основания трапеции — параллельные стороны.
• Высота перпендикулярна основаниям.
• Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.
• Формула: S = (a + b)h/2.
• Чтобы найти высоту, можно использовать формулу h = 2S/(a + b).
• Площадь выражают в квадратных единицах.