§ 25. Площадь трапеции

Определения и обозначения

Трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Эти параллельные стороны отделяют фигуру от остальных четырёхугольников с другой парой параллельных сторон. Два других отрезка называют боковыми сторонами. Чтобы разобраться в задаче, сначала нужно определить, какие стороны трапеции параллельны.

Основания трапеции — её параллельные стороны, а их длины обычно обозначают буквами a и b. Основания могут быть разной длины, и каждое из них участвует в вычислении площади. Боковые стороны не являются основаниями, даже если на чертеже они выглядят длиннее. Такое обозначение помогает подставлять в формулу именно нужные величины.

Высота трапеции — перпендикуляр между прямыми, содержащими основания; длину высоты обозначают h. Перпендикуляр образует с основаниями прямой угол, поэтому высота измеряет кратчайшее расстояние между параллельными прямыми. Она может проходить внутри трапеции или вне её, если продолжить прямые оснований. Знание высоты необходимо, потому что именно она показывает, насколько далеко друг от друга расположены основания.

Площадь трапеции — величина, выражающая размер части плоскости, занятой фигурой; её обозначают S. Площадь не является длиной: если стороны измерены в сантиметрах, результат записывают в квадратных сантиметрах. Это обозначение позволяет кратко записывать формулу и сравнивать, сколько места занимают фигуры. Для нахождения S понадобятся длины двух оснований и высоты.

Как это устроено

Связь площади трапеции с параллелограммом помогает понять, откуда берётся формула. Возьмём две равные трапеции и расположим их так, чтобы подходящие боковые стороны совпали, а основания образовали противоположные стороны полученной фигуры. Из двух трапеций складывается параллелограмм: его основание составлено из двух оснований трапеции и имеет длину a + b. Высота параллелограмма равна h, потому что расстояние между его параллельными сторонами такое же, как между основаниями трапеции.

Площадь параллелограмма с основанием a + b и высотой h равна (a + b)h. Он состоит из двух одинаковых трапеций, значит, его площадь вдвое больше площади одной из них. Если обозначить площадь трапеции через S, получим 2S = (a + b)h. Разделив обе части равенства на 2, находим формулу S = (a + b)h / 2.

Выражение (a + b) / 2 — это среднее арифметическое длин оснований, или их полусумма. Поэтому формулу можно прочитать так: площадь трапеции равна произведению высоты на среднюю длину оснований. Такой смысл удобно использовать, чтобы проверить вычисления: если одно основание заметно длиннее другого, их среднее должно находиться между их длинами. Тогда площадь равна этой средней величине, умноженной на высоту.

В формуле нет длины наклонных боковых сторон, потому что они не определяют ни сумму оснований, ни расстояние между ними. Если сохранить основания и высоту, можно наклонять боковые стороны, меняя очертания трапеции, но площадь останется прежней. Причина в том, что каждая такая фигура по-прежнему складывается с равной ей трапецией в параллелограмм той же площади. Значит, для площади важны размеры оснований и перпендикулярное расстояние между ними, а не наклон боковых сторон.

Равнобедренная трапеция — частный случай, в котором боковые стороны равны. Равенство боковых сторон задаёт особенность формы, но отдельная формула площади для этого не нужна. Чтобы найти площадь, достаточно знать длины двух оснований и высоту, а сами боковые стороны подставлять не следует. По одним только длинам боковых сторон площадь определить нельзя: для этого не хватает данных об основаниях и высоте.

Формула площади трапеции и необходимые данные

Сначала найди в условии известные величины и соотнеси их с первым столбцом, затем выбери действие из среднего столбца. Если неизвестная величина не указана прямо в формуле, вырази её из равенства площади. Перед подстановкой проверь единицы измерения, а после вычисления запиши ответ с подходящей единицей.

Разбор задач

Основания трапеции равны 6 см и 10 см, высота — 4 см. Найдите площадь. Из условия известны все три величины, которые входят в формулу, поэтому дополнительных построений или уравнений не требуется. Подставим значения и вычислим площадь в квадратных сантиметрах.

1. Запишем формулу: S = (a + b)h / 2.
2. Подставим данные: S = (6 + 10) · 4 / 2.
3. Сначала сложим основания: 6 + 10 = 16 см, затем вычислим 16 · 4 / 2 = 32.

Полученное число выражает площадь, поэтому указываем квадратные, а не линейные единицы. Ответ: 32 см².

Площадь трапеции равна 42 см², основания — 8 см и 13 см. Найдите высоту. Неизвестна высота, значит, нужно преобразовать формулу площади так, чтобы h осталось отдельно. Удвоенная площадь равна произведению суммы оснований на высоту, после деления на сумму оснований получаем нужную величину.

1. Начнём с равенства S = (a + b)h / 2 и выразим высоту: h = 2S / (a + b).
2. Подставим известные значения: h = 2 · 42 / (8 + 13).
3. Вычислим: h = 84 / 21 = 4.

Проверим единицы: площадь дана в см², а сумма оснований — в см, поэтому при делении получаются сантиметры. Ответ: высота равна 4 см.

Площадь трапеции равна 60 см², высота — 6 см, а одно основание на 4 см длиннее другого. Найдите основания. Сначала найдём сумму оснований по формуле площади, а затем используем данную разность. Такой порядок позволяет составить уравнение с одной неизвестной и не гадать, какие длины подходят.

1. Выразим сумму оснований: a + b = 2S / h = 2 · 60 / 6 = 20 см.
2. Обозначим меньшее основание через x см; тогда большее равно x + 4 см.
3. Составим уравнение x + (x + 4) = 20. Получаем 2x = 16, значит, x = 8 см, а второе основание равно 12 см.

Проверим результат: сумма оснований равна 20 см, их разность — 4 см, как и требуется. Ответ: основания равны 8 см и 12 см.

Типичные ошибки

Первая ошибка — сложить основания и умножить на высоту, но забыть разделить результат на 2. Так находят площадь параллелограмма, составленного из двух трапеций, то есть получают удвоенную площадь. Это легко допустить, если запомнить только часть формулы. Проверь себя: при сложении двух одинаковых трапеций результат должен быть вдвое больше площади одной, поэтому в формуле делят на 2.

Вторая ошибка — принять наклонную боковую сторону за высоту. Их могут перепутать, потому что обе величины изображены отрезками внутри или рядом с фигурой. Но высота обязательно перпендикулярна основаниям, а боковая сторона может быть наклонена. Проведи перпендикуляр к основанию или проверь отметку прямого угла, прежде чем подставлять длину.

Третья ошибка — использовать в формуле длины боковых сторон вместо оснований. Такое случается, когда выбирают стороны по их расположению на рисунке, не проверив, какие из них параллельны. Основаниями являются именно параллельные стороны, а не обязательно верхняя и нижняя стороны чертежа. Проверь параллельность и только затем обозначай длины буквами a и b.

Четвёртая ошибка — смешать единицы или записать площадь в сантиметрах. Например, если одна длина дана в метрах, а другая в сантиметрах, их нельзя сразу складывать. Сначала приведи все длины к одной единице измерения, затем выполни вычисления. В конце проверь, что единицы площади квадратные: см², м² и так далее.

Связь с другими темами

Для понимания формулы площади трапеции полезны уже знакомые формулы площадей прямоугольника и параллелограмма. Именно площадь параллелограмма помогает обосновать, почему формула трапеции содержит полусумму оснований. Также нужно уметь распознавать параллельные прямые и строить перпендикуляр к ним, чтобы правильно находить высоту. Позже эту формулу применяют при вычислении площади составных фигур и при изучении площадей других многоугольников.

Что запомнить

• Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.
• Формула: S = (a + b)h / 2.
• Основания — параллельные стороны трапеции.
• Высота перпендикулярна основаниям.
• Для вычисления площади нужны длины обоих оснований и высоты.
• Площадь выражают в квадратных единицах.