106. Площадь трапеции

Определения и обозначения

Трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Эти параллельные стороны называют основаниями, а две другие — боковыми сторонами. Такое разделение помогает понять, какие длины участвуют в формуле площади: основания задают ширину фигуры сверху и снизу, а боковые стороны соединяют их.

Основания трапеции — её параллельные стороны; их длины обозначим буквами a и b. Обычно буквы используют для вычислений вместо конкретных чисел, а затем подставляют известные значения. Оба основания нужны, потому что трапеция может быть шире у одного края и уже у другого.

Высота трапеции — перпендикулярное расстояние между прямыми, на которых лежат основания; обозначим его h. Перпендикуляр образует с основанием угол 90°, поэтому высота измеряет именно расстояние между параллельными прямыми. Она может не совпадать с боковой стороной: это различие особенно важно, если трапеция наклонная.

Как это устроено

Площадь трапеции можно объяснить, дополнив её до параллелограмма. Для этого к трапеции пристраивают равную ей копию, перевёрнутую подходящим образом, чтобы вместе они образовали параллелограмм. Его основание складывается из двух оснований трапеции и равно a + b, а высота остаётся h, поскольку расстояние между параллельными основаниями не меняется. Трапеция составляет половину получившегося параллелограмма, поэтому её площадь вдвое меньше его площади.

Есть и другой способ обосновать формулу: провести диагональ трапеции. Она разделит фигуру на два треугольника, причём высота каждого равна высоте трапеции h. Основания этих треугольников — основания трапеции a и b, поэтому их площади равны ah / 2 и bh / 2. Складывая площади двух частей, получаем площадь всей трапеции: ah / 2 + bh / 2.

Вынесем общий множитель h / 2 за скобки: S = (a + b)h / 2. Значит, нужно сложить длины оснований, умножить сумму на высоту и разделить результат на два. Такое деление не случайно: высота умножается не на сумму оснований, а на их среднее арифметическое. Поэтому ту же зависимость можно записать как S = h · (a + b) / 2.

Из формулы видно, какие данные необходимы для вычисления площади: длины обоих оснований и высота. Две боковые стороны сами по себе их не заменяют, потому что при одинаковых боковых сторонах трапеции могут иметь разный наклон и разную высоту. Если дополнительно известен угол или другой размер, по нему иногда можно вычислить высоту, но без таких сведений площадь определить нельзя.

Формула не зависит от того, равнобедренная трапеция или прямоугольная. У равнобедренной боковые стороны равны, а у прямоугольной одна боковая сторона перпендикулярна основаниям и может совпадать с высотой. В обоих случаях площадь всё равно находят по двум основаниям и высоте, потому что именно эти величины определяют площадь фигуры.

Величины и формулы для площади трапеции

Сначала определите, какие величины известны в задаче, и найдите для них обозначения в таблице. Если даны основания и высота, используйте формулу S = (a + b)h / 2; если известна средняя линия, удобнее применить S = mh. Чтобы найти неизвестную величину, выразите её из подходящей формулы.

Разбор задач

Задача 1. Основания трапеции равны 6 см и 10 см, высота — 4 см. Найдём площадь. Здесь известны все три величины, необходимые для прямой подстановки в формулу, поэтому дополнительных построений не требуется.

1. Обозначим основания: a = 6 см, b = 10 см, а высоту: h = 4 см.
2. Запишем формулу и подставим данные: S = (6 + 10) · 4 / 2.
3. Сначала вычислим сумму оснований: 6 + 10 = 16. Тогда S = 16 · 4 / 2 = 64 / 2 = 32 см².

Ответ: 32 см². Площадь выражена в квадратных сантиметрах, потому что мы перемножали длины, заданные в сантиметрах.

Задача 2. Площадь трапеции равна 45 см², основания — 7 см и 11 см. Найдём высоту. Высота здесь неизвестна, поэтому преобразуем формулу так, чтобы h осталась одна: умножим обе части равенства на 2, а затем разделим на сумму оснований.

1. Запишем формулу: 45 = (7 + 11)h / 2.
2. Вычислим сумму оснований: 7 + 11 = 18. Отсюда h = 2 · 45 / 18.
3. Выполним вычисления: h = 90 / 18 = 5 см. Проверка: (7 + 11) · 5 / 2 = 45 см².

Ответ: 5 см. Проверка возвращает заданную площадь, значит, преобразование выполнено верно.

Задача 3. Площадь трапеции равна 72 см², высота — 8 см, одно основание на 4 см длиннее другого. Найдём основания. Формула площади позволяет сначала узнать сумму оснований, но для двух отдельных длин одной суммы недостаточно. Условие о разности даст второе уравнение.

1. Пусть меньшее основание равно x см, тогда большее равно x + 4 см.
2. Найдём сумму оснований из формулы: a + b = 2S / h = 2 · 72 / 8 = 18 см.
3. Составим уравнение: x + (x + 4) = 18. Тогда 2x = 14, x = 7, а второе основание равно 7 + 4 = 11 см.

Ответ: 7 см и 11 см. Проверка: их сумма равна 18 см, разность — 4 см, а площадь равна 18 · 8 / 2 = 72 см².

Типичные ошибки

Первая ошибка — подставлять вместо высоты боковую сторону. Так делают, если принимают любой отрезок между основаниями за высоту, хотя высота должна быть перпендикулярна им. Проверьте, образует ли выбранный отрезок угол 90° с основаниями; если нет, это не высота.

Вторая ошибка — забывать разделить сумму оснований на два. Часто сначала правильно находят a + b и умножают на h, но теряют множитель 1/2. Проверьте, что высота умножена на среднее оснований, а не на их сумму.

Третья ошибка — использовать выражение (a + b)h без деления на два. Результат получится вдвое больше правильного, потому что сумма площадей двух треугольников равна ah / 2 + bh / 2. Если сомневаетесь, разделите трапецию диагональю и проверьте вычисление через площади этих треугольников.

Четвёртая ошибка — смешивать единицы или записывать площадь в единицах длины. Например, нельзя без перевода складывать сантиметры и метры, а ответ после умножения длин не может быть просто в сантиметрах. Перед вычислением приведите все длины к одной единице и запишите площадь в квадратных единицах: см², м² и так далее.

Связь с другими темами

Для вывода формулы площади трапеции полезно помнить площади треугольника и параллелограмма. В разбиении диагональю используются два треугольника, а при дополнении трапеции возникает параллелограмм; в обоих рассуждениях важны основание и высота. Также пригодятся понятия перпендикуляра и средней линии.

Формула помогает решать задачи на площади составных фигур: трапецию можно выделить в составе сложной фигуры или разбить на более простые части. Если площадь и часть размеров известны, из того же равенства находят высоту, основание или среднюю линию. Так одна формула связывает разные геометрические величины.

Что запомнить

• Площадь трапеции равна половине произведения высоты на сумму оснований.
• Формула: S = (a + b)h / 2.
• Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: m = (a + b) / 2.
• Площадь можно записать как S = mh.
• Высота перпендикулярна основаниям; боковая сторона не обязана быть высотой.
• Площадь выражают в квадратных единицах.