"Геометрия", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Площадь трапеции показывает, какую часть плоскости занимает фигура внутри её сторон, и помогает сравнивать её с другими фигурами или вычислять площадь сложных фигур. Чтобы её найти, нужны два параллельных основания и высота — расстояние между ними. Площадь равна полусумме оснований, умноженной на высоту; так как полусумма оснований — это средняя линия трапеции, можно также умножить среднюю линию на высоту.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Основания трапеции — это её параллельные стороны; их обычно обозначают a и b. Именно эти стороны задают направление, между которым измеряют высоту, и участвуют в формуле площади. Две другие стороны называют боковыми, поэтому не следует принимать их за основания.
Высота трапеции — перпендикулярное расстояние между прямыми, содержащими основания; её обозначают h. Поскольку основания параллельны, перпендикуляр к одной из этих прямых будет перпендикулярен и другой. Высота нужна для вычисления площади, а боковая сторона может быть наклонной и не заменяет её.
Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины её боковых сторон; обычно её обозначают m. Она параллельна основаниям и равна их полусумме: m = (a + b) / 2. Это свойство позволяет находить площадь, даже если удобнее использовать среднюю линию, а не отдельно два основания.
Площадь трапеции — величина, показывающая, какую часть плоскости занимает фигура. Её обозначают S и выражают в квадратных единицах: например, в см² или м². Если длины измерены в сантиметрах, результат вычисления площади будет в квадратных сантиметрах.
Проведём диагональ трапеции: она разделит её на два треугольника, а вся площадь будет равна сумме их площадей. Такое разбиение удобно, потому что для треугольников уже известна формула площади. Остаётся понять, какие стороны и высоты в неё подставить.
Основания трапеции параллельны, а вершина каждого из полученных треугольников лежит на одной из этих параллельных прямых. Поэтому перпендикулярное расстояние от вершины до противоположного основания в обоих треугольниках одинаково и равно высоте h трапеции. Основаниями треугольников служат сами основания трапеции: одно имеет длину a, другое — b. Диагональ лишь разделяет фигуру и не меняет это расстояние.
Площадь первого треугольника равна ah / 2, а второго — bh / 2. Складываем их площади: S = ah / 2 + bh / 2. Общие множители можно вынести за скобки, поэтому получаем S = (a + b)h / 2. Так появляется формула площади трапеции через сумму оснований и высоту.
По свойству средней линии m = (a + b) / 2. Значит, выражение (a + b) / 2 в формуле площади можно заменить на m, и получится S = mh. Это не другая независимая формула, а та же зависимость, записанная короче. Она особенно удобна, если средняя линия уже дана в условии.
Размерность помогает проверить вычисление: в формуле S = (a + b)h / 2 складываются длины, а затем результат умножается на длину. Значит, получаются квадратные единицы, например см · см = см²; деление на 2 единицу не меняет. Если неизвестна высота, из формулы следует h = 2S / (a + b), а из записи S = mh — h = S / m. Перед подстановкой приведи все длины к одной единице измерения.
| Что известно или используется | Обозначения | Как найти площадь |
|---|---|---|
| Оба основания и высота | a, b, h | S = (a + b)h / 2 |
| Средняя линия и высота | m, h | S = mh |
| Переход от суммы оснований к средней линии | m = (a + b) / 2 | S = mh |
| Единицы измерения площади | Длины в одинаковых единицах | Квадратные единицы: см², м² и т. д. |
Сначала найди в условии известные элементы и выбери соответствующую строку таблицы. Если даны оба основания, используй их полусумму; если дана средняя линия, повторно складывать основания не нужно. Проверяй, что все длины выражены в одинаковых единицах, а ответ записан в квадратных.
Основания трапеции равны 8 см и 14 см, высота — 5 см. Найдём площадь по формуле через основания и высоту. Сначала сложим основания, затем умножим их полусумму на высоту. В ответе укажем квадратные сантиметры, так как все длины заданы в сантиметрах.
Ответ: 55 см². Можно проверить вычисление иначе: средняя линия равна (8 + 14) / 2 = 11 см, а её произведение на высоту составляет 11 · 5 = 55 см². Оба способа дают один результат.
Площадь трапеции равна 54 см², основания — 7 см и 11 см. Требуется найти высоту, поэтому из формулы S = (a + b)h / 2 выразим h. Важно не забыть, что полусумму оснований нужно умножить на высоту: для обратного вычисления площадь делят на полусумму. Все заданные величины уже согласованы по единицам.
Ответ: 6 см. Проверим: S = (7 + 11) · 6 / 2 = 18 · 3 = 54 см². Значение площади совпало с условием, значит, вычисление верно.
Средняя линия трапеции равна 9 см, площадь — 63 см². Здесь удобнее сразу применить формулу S = mh, поскольку m уже известна. После нахождения высоты можно восстановить сумму оснований из свойства средней линии. Следим за единицами: площадь дана в см², а длина средней линии — в см.
Ответ: высота равна 7 см, сумма оснований — 18 см. Проверим площадь: 9 · 7 = 63 см². Умножение длины на длину даёт квадратные сантиметры, как и требуется.
Иногда складывают основания и умножают сумму на высоту, не деля на 2. Так получают удвоенную площадь, потому что в формуле участвует полусумма оснований. Проверь себя: раздели сумму на два до умножения или сравни результат с формулой S = mh.
За высоту могут принять боковую сторону, потому что она тоже соединяет вершины трапеции. Но высота — именно перпендикулярное расстояние между основаниями, а наклонная сторона может быть длиннее этого расстояния. Проверь, образует ли выбранный отрезок прямой угол с основаниями; если нет, это не высота.
При использовании средней линии иногда подставляют в формулу и m, и оба основания. Это приводит к повторному учёту одной и той же величины: m уже равна полусумме оснований. Выбирай одну запись — S = mh или S = (a + b)h / 2 — и подставляй данные только в неё.
Ответ могут записать в сантиметрах, хотя вычислялась площадь. Ошибка возникает, когда единицы длины переносят в ответ без проверки размерности. Поскольку площадь получают умножением двух длин, записывай квадратные единицы: см², м² и так далее.
Чтобы понять формулу площади трапеции, нужно знать формулу площади треугольника: именно на два треугольника можно разделить трапецию диагональю. Также пригодятся свойства параллельных прямых, объясняющие, почему высоты этих треугольников равны высоте трапеции. Связь средней линии с основаниями помогает преобразовывать формулу и находить неизвестные элементы. Формула полезна при вычислении площадей составных фигур и в практических задачах.
Почему в формуле площади трапеции нужно делить сумму оснований на два?
При разбиении трапеции диагональю получаются два треугольника с общей высотой. Их площади складываются, и в каждой формуле площади треугольника есть деление на 2. Поэтому площадь трапеции равна (a + b)h / 2.
Можно ли найти площадь трапеции, если известны только основания?
Нет, одних оснований недостаточно: трапеции с теми же основаниями могут иметь разную высоту и, значит, разную площадь. Нужны ещё высота или средняя линия вместе с высотой.
Как отличить высоту трапеции от её боковой стороны?
Высота — это перпендикулярное расстояние между прямыми, на которых лежат основания. Боковая сторона обычно наклонена к основаниям и не равна высоте, если только она сама не перпендикулярна основаниям.
Как найти площадь трапеции через среднюю линию?
Умножь среднюю линию m на высоту h: S = mh. Средняя линия равна полусумме оснований, поэтому эта формула совпадает с записью S = (a + b)h / 2.
Что делать, если в задаче неизвестна высота, но известна площадь?
Вырази высоту из формулы площади: h = 2S / (a + b), если известны основания. Если дана средняя линия, используй h = S / m. Перед вычислением проверь, что длины и площадь записаны в согласованных единицах.
§ 23. Площадь трапеции
