"Геометрия", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Равносоставленные многоугольники можно получить друг из друга разбиением на одинаковые части и их перестановкой. Поэтому их площади равны, хотя форма фигур может отличаться. Равновеликие многоугольники имеют одинаковую площадь, но не обязательно сразу видны соответствующие части. Главное свойство темы: любые два равновеликих многоугольника можно разбить на соответственно равные части, то есть сделать равносоставленными.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Разбиение многоугольника — разделение его на конечное число многоугольников без наложений и пропусков. Получившиеся части называют компонентами разбиения. Это нужно, чтобы точно описать, из каких частей составлена фигура.
Равносоставленные многоугольники — многоугольники, которые можно разбить на соответственно равные многоугольники-компоненты. Соответствующие части двух фигур попарно равны. Значит, одну фигуру можно мысленно разрезать и собрать из тех же частей другую.
Равновеликие многоугольники — многоугольники, имеющие равные площади. Их форма, количество сторон и размеры отдельных сторон могут различаться. Это понятие позволяет сравнивать фигуры по занимаемой ими части плоскости.
Площадь многоугольника — величина, характеризующая размер его части плоскости и сохраняющаяся при разбиении и перестановке частей. Обычно площадь обозначают буквой S и записывают в квадратных единицах, например см². Сумма площадей неперекрывающихся частей равна площади всей фигуры.
Если многоугольник разрезать на части без пропусков и наложений, каждая точка исходной фигуры попадёт ровно в одну часть. Поэтому вся площадь фигуры складывается из площадей компонентов: S = S₁ + S₂ + ... + Sₙ. Разрезание не удаляет участок плоскости и не добавляет новый, так что сумма площадей остаётся прежней.
При перестановке частей меняется их положение, но не размер и не форма каждой части. Если компоненты снова соединить без перекрытий и пропусков, площадь нового многоугольника будет равна той же сумме S₁ + S₂ + ... + Sₙ. Поэтому из одинакового набора частей можно получить фигуры разного вида с одной и той же площадью.
Если два многоугольника равносоставлены, у них есть соответственно равные компоненты. Равные многоугольники имеют равные площади, а сложение равных площадей по всем компонентам даёт равенство площадей исходных фигур. Следовательно, равносоставленность всегда влечёт равновеликость.
Обратное направление устанавливает теорема о равновеликих многоугольниках: любые два равновеликих многоугольника равносоставлены. Причина в том, что равенство площадей позволяет подобрать разбиения, в которых компоненты одной фигуры попарно соответствуют компонентам другой. На практике эту теорему применяют, когда площадь уже вычислена, но конкретное разрезание строить не требуется.
Равносоставленность сильнее простой равновеликости по содержанию. Равновеликость сообщает только результат сравнения — одинаковую площадь, а равносоставленность дополнительно показывает способ перехода от одной фигуры к другой. Поэтому равносоставленность одновременно объясняет равенство площадей и описывает преобразование фигур.
| Критерий | Равносоставленные многоугольники | Равновеликие многоугольники |
|---|---|---|
| Определение | Разбиваются на соответственно равные компоненты. | Имеют равные площади. |
| Что происходит с частями фигур | Части можно сопоставить попарно или переставить. | О частях ничего обязательно не известно. |
| Что происходит с площадями | Площади равны как суммы площадей равных компонентов. | Площади равны по условию или вычислению. |
| Как установить свойство | Показать разбиения и равенство соответствующих частей. | Вычислить или сравнить площади. |
| Связь между понятиями | Из равносоставленности следует равновеликость. | По теореме равновеликие многоугольники равносоставлены. |
Сначала определите, что именно требуется доказать: равенство площадей или наличие одинаковых частей. Для первого достаточно формул и вычислений, для второго нужно указать разбиение; теорема позволяет перейти от равных площадей к выводу о равносоставленности.
В задачах этой темы полезно отделять вычисление площади от доказательства способа составления фигуры. Если части уже даны, площадь находят сложением. Если фигуры имеют известные размеры, применяют формулы площадей и затем используют теорему.
Многоугольник разбит на три части площадями 6 см², 8 см² и 11 см². Из тех же частей составлен другой многоугольник. Нужно доказать равенство площадей и найти площадь второго многоугольника.
Ответ: площади равны; площадь второго многоугольника — 25 см².
Докажем, что параллелограмм с основанием 12 см и высотой 5 см равносоставлен прямоугольнику со сторонами 12 см и 5 см. У параллелограмма можно провести высоту к основанию и отсечь треугольник у одного края. Этот треугольник подходит к противоположному краю и превращает параллелограмм в прямоугольник.
Ответ: параллелограмм и прямоугольник равносоставлены.
Площадь трапеции с основаниями 6 см и 14 см и высотой 4 см сравнивается с площадью прямоугольника со сторонами 8 см и 5 см. Вычислим обе площади и проверим условие теоремы о равновеликих многоугольниках.
Ответ: да, можно утверждать, что трапеция и прямоугольник равносоставлены.
Считать равными по площади только фигуры одинаковой формы. Так ошибаются, потому что привычно сравнивают внешний вид. Проверяйте не форму, а значение площади: разные фигуры могут занимать одинаковую часть плоскости.
Путать равносоставленность с равенством самих многоугольников. Равные фигуры совпадают при наложении, а равносоставленные могут иметь разную форму и число сторон. Проверьте, говорится ли о совпадении фигур или о разбиении на равные части.
Забывать об отсутствии пропусков и наложений. Если часть потеряна или две части перекрываются, их сумма уже не описывает исходную фигуру. Проведите мысленную проверку: каждая точка должна быть покрыта ровно один раз.
Делать вывод о равновеликости без основания. Одного похожего вида недостаточно: нужны вычисленные площади или указание на одинаковые компоненты. Перед выводом запишите формулу, сумму площадей или применяемую теорему.
До изучения темы нужны формулы площадей прямоугольника, параллелограмма, треугольника и трапеции, а также свойства равных фигур. Новое умение — разрезать многоугольник на части и переставлять их без изменения площади. Позже этот подход поможет выводить формулы площадей и решать задачи на преобразование многоугольников.
Чем равносоставленные многоугольники отличаются от равновеликих?
Равносоставленные фигуры можно разбить на соответственно равные части. Равновеликие фигуры имеют только одинаковые площади, а способ разбиения может быть не указан.
Можно ли из любого многоугольника перестановкой частей получить другой равновеликий многоугольник?
Да, если второй многоугольник имеет такую же площадь. Теорема о равновеликих многоугольниках утверждает, что такие фигуры можно разбить на соответственно равные части и переставить их.
Обязательно ли равносоставленные многоугольники должны иметь одинаковую форму?
Нет, одинаковая форма не требуется. Например, параллелограмм и прямоугольник могут состоять из одних и тех же частей.
Как доказать равносоставленность двух многоугольников?
Нужно показать разбиение обеих фигур на пары соответственно равных многоугольников-компонентов. Если такое разбиение построено, фигуры равносоставлены.
Почему при разрезании и перестановке частей площадь не меняется?
Части полностью покрывают исходную фигуру и не перекрываются, поэтому её площадь равна сумме площадей частей. При перестановке меняется только положение частей, а их площади и сумма остаются прежними.
Равносоставленные и равновеликие многоугольники
