§ 23. Площадь трапеции

Определения и обозначения

Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны. Параллельность означает, что стороны лежат на прямых, которые не пересекаются, как бы далеко их ни продолжали. Именно эта пара сторон отличает трапецию от других четырёхугольников и позволяет задать её площадь через два основания и расстояние между ними.

Основания трапеции — её параллельные стороны, обычно их обозначают буквами a и b. Они могут быть разной длины, поэтому при вычислении площади учитывают оба основания, а не только более длинное. Две оставшиеся стороны называют боковыми: они соединяют концы оснований, но не входят в формулу вместо них.

Высота трапеции — перпендикулярное расстояние между её основаниями, обозначаемое h. Перпендикуляр образует с основанием прямой угол, поэтому высота показывает именно расстояние между параллельными прямыми, а не длину наклонной боковой стороны. Высота нужна, чтобы связать размеры оснований с площадью фигуры.

Площадь трапеции — величина части плоскости, ограниченной её сторонами; её обозначают буквой S. Площадь показывает, сколько места занимает фигура, а не какова длина её контура. Поэтому результат измеряют в квадратных единицах: например, в см² или м².

Как это устроено

Площадь трапеции можно понять, если разделить её диагональю на два треугольника. У каждого из них высота к основанию трапеции равна h, потому что оба основания лежат на параллельных прямых. Площади треугольников складываются, а их основания вместе составляют a + b. Так получается сумма ½ah и ½bh, то есть ½(a + b)h.

Есть и другой способ увидеть происхождение формулы: две одинаковые трапеции можно сложить так, чтобы они образовали параллелограмм. Его основание равно сумме оснований трапеции, a + b, а высота остаётся h. Площадь параллелограмма равна (a + b)h, но в нём две одинаковые трапеции. Значит, площадь одной трапеции вдвое меньше: S = (a + b)h / 2.

Из обоих рассуждений выходит одна формула: S = (a + b)h / 2. Сумма оснований делится на два, поэтому её называют полусуммой; иначе говоря, это среднее арифметическое длин двух оснований. Площадь равна произведению этого среднего на высоту. Боковая сторона в рассуждении не появляется: сама по себе её длина не показывает расстояние между основаниями и может быть наклонной.

На рисунке сначала найди две параллельные стороны — это основания, независимо от того, горизонтальны они или наклонены. Высота соединяет прямые, на которых лежат основания, под прямым углом; у наклонной трапеции она может проходить внутри фигуры или вне её. В прямоугольной трапеции одна боковая сторона перпендикулярна основаниям и поэтому является высотой. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, но высотой всё равно служит перпендикуляр, а не наклонная боковая сторона.

Формулу можно преобразовать, если неизвестна не площадь, а один из размеров. Из равенства S = (a + b)h / 2 получаем h = 2S / (a + b): удваиваем площадь и делим на сумму оснований. Если неизвестно основание b, умножаем обе части исходной формулы на 2, делим на h и вычитаем a: b = 2S / h − a. Перед подстановкой проверь, что длины выражены в одинаковых единицах.

Площадь трапеции и элементы формулы

Сначала найди в задаче известные величины и подпиши их подходящими буквами. Затем выбери формулу, в которой есть искомая величина, и подставь остальные значения. Таблица помогает не перепутать основания с боковыми сторонами и площадь с длиной.

Разбор задач

Задача 1. Основания трапеции равны 10 см и 6 см, а высота равна 4 см. Найдите площадь трапеции. Известны оба основания и перпендикулярное расстояние между ними, поэтому дополнительных построений не требуется. Используем формулу площади.

1. Запишем данные: a = 10 см, b = 6 см, h = 4 см. Так как основания даны в одинаковых единицах, их можно сразу подставить в формулу.
2. Найдём полусумму оснований: (10 + 6) / 2 = 8 см. Деление на 2 обязательно, потому что формула содержит именно полусумму.
3. Умножим её на высоту: S = 8 · 4 = 32 см². Поскольку перемножаются две длины, результат записываем в квадратных сантиметрах.

Ответ: 32 см².

Задача 2. Площадь трапеции равна 84 см², основания равны 12 см и 9 см. Найдите высоту. Искомая величина — h, поэтому удобнее сначала выразить её из формулы, а затем подставлять числа. Так меньше риск потерять деление на два.

1. Запишем формулу для высоты: h = 2S / (a + b). Удвоение площади отменяет деление на 2 в формуле площади.
2. Подставим значения: h = 2 · 84 / (12 + 9) = 168 / 21 = 8 см. Площадь и основания даны в сантиметрах и квадратных сантиметрах, поэтому высота получается в сантиметрах.
3. Проверим результат: (12 + 9) · 8 / 2 = 21 · 4 = 84 см². Подстановка вернула заданную площадь, значит вычисление верно.

Ответ: 8 см.

Задача 3. В равнобедренной трапеции основания равны 14 см и 8 см, боковая сторона — 5 см. Найдите площадь. Высота не дана, и боковая сторона не равна ей: сначала нужно найти перпендикулярное расстояние между основаниями. Равенство боковых сторон позволяет получить одинаковые прямоугольные треугольники по краям трапеции.

1. Опустим высоты от концов меньшего основания к большему. Разность оснований равна 14 − 8 = 6 см; из-за равнобедренности она делится поровну, поэтому горизонтальный катет каждого треугольника равен 3 см.
2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза — боковая сторона 5 см, один катет — 3 см. По теореме Пифагора h² + 3² = 5², откуда h² = 25 − 9 = 16 и h = 4 см.
3. Подставим высоту и основания: S = (14 + 8) · 4 / 2 = 22 · 2 = 44 см². Получили площадь, используя именно перпендикулярную высоту.

Ответ: 44 см².

Типичные ошибки

Ошибка: использовать боковую сторону вместо высоты. Её допускают, когда принимают любую соединяющую основания сторону за расстояние между ними. Проверь, образует ли выбранный отрезок прямой угол с основаниями; если нет, это не высота.

Ошибка: сложить основания и умножить сумму на высоту, забыв разделить на 2. Так получается удвоенная площадь, поскольку полусумма оснований заменена их полной суммой. Проверь запись формулы до вычислений: после скобок должно быть деление на 2.

Ошибка: подставить только одно основание или найти разность оснований вместо их полусуммы. Это происходит, если читать формулу невнимательно или считать, что достаточно большего основания. Перед подстановкой отдельно запиши a + b и убедись, что в сумме есть оба основания, а разность нужна только в дополнительных построениях.

Ошибка: записать ответ в единицах длины, например в сантиметрах. Так бывает, если забыть, что площадь получается умножением одной длины на другую. Проверь единицы в конце: при основаниях и высоте в сантиметрах ответ должен быть в см².

Связь с другими темами

Для понимания формулы полезны площади прямоугольника, параллелограмма и треугольника: через них можно объяснить, почему площадь трапеции зависит от полусуммы оснований и высоты. Также нужны свойства параллельных прямых и перпендикуляра, помогающие правильно провести высоту. В составной фигуре трапецию можно выделить и найти её площадь отдельно, а затем сложить или вычесть площади частей. Эта формула пригодится в задачах на координатную геометрию, подобие и практические измерения площадей.

Что запомнить

• Основания трапеции — её параллельные стороны.
• Высота трапеции перпендикулярна основаниям.
• Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
• Формула площади: S = (a + b)h / 2.
• Для нахождения высоты используют формулу h = 2S / (a + b).
• Боковая сторона не является высотой, если она не перпендикулярна основаниям.
• Площадь записывают в квадратных единицах.