"Геометрия", Мерзляк А.Г., Поляков В.М.; под ред. Подольского В.Е.
Площадь треугольника — это величина, показывающая размер области внутри его сторон. Её находят как половину произведения основания на проведённую к нему высоту: S = ½ah. Основанием можно выбрать любую сторону, но высота должна быть проведена именно к ней и образовывать прямой угол. Формула помогает решать задачи о треугольниках, сравнивать их площади и находить площади многоугольников, разбивая их на треугольники.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь треугольника — величина, которую находят по формуле, связывающей площадь с основанием и проведённой к нему высотой. Обычно её обозначают буквой S и выражают в квадратных единицах. Это понятие нужно, чтобы измерять размер области, ограниченной сторонами треугольника.
Основание треугольника — сторона, выбранная для вычисления площади. Обозначим её, например, буквой a. Выбор основания нужен потому, что к каждой стороне относится своя соответствующая высота.
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. Её длину обозначают буквой h. Высота нужна для определения расстояния от вершины до основания и входит в формулу площади.
Равновеликие треугольники — треугольники, площади которых равны. При этом их стороны, углы и форма могут различаться. Поэтому равенство площадей не означает равенства самих треугольников.
Формула площади треугольника имеет вид S = ½ah. Чтобы понять множитель ½, треугольник можно дополнить до параллелограмма с теми же основанием a и высотой h. Диагональ параллелограмма делит его на два равных по площади треугольника, поэтому площадь одного треугольника равна половине площади параллелограмма ah.
В качестве основания разрешено выбрать любую сторону треугольника. К выбранной стороне проводится своя высота, и она всегда образует с прямой основания прямой угол. Поэтому формула остаётся верной при любом выборе: меняются a и h, но произведение ½ah даёт одну и ту же площадь.
В остроугольном треугольнике высота из каждой вершины попадает на противоположную сторону, поэтому все три высоты находятся внутри фигуры. В прямоугольном треугольнике катеты перпендикулярны, так что один катет можно считать основанием, а другой — соответствующей высотой. В тупоугольном треугольнике одна из высот может попадать на продолжение противоположной стороны, поэтому часть высоты окажется вне треугольника.
Если треугольники имеют общее основание, а их вершины лежат на одной прямой, параллельной этому основанию, то расстояния от вершин до основания одинаковы. Эти расстояния и есть соответствующие высоты. При одинаковом основании и одинаковой высоте произведение ½ah одинаково, значит, площади треугольников равны.
Когда у двух треугольников общая высота, в формулах S₁ = ½a₁h и S₂ = ½a₂h множитель ½ и высота одинаковы. Поэтому они сокращаются при сравнении площадей. Получаем отношение S₁/S₂ = a₁/a₂: треугольник с основанием в два раза больше имеет и площадь в два раза больше.
В таблице собраны основные случаи, которые встречаются в задачах. Сначала определите, какие величины известны, затем выберите подходящую строку. Следите, чтобы основание и высота относились к одной и той же стороне.
| Ситуация | Что известно | Формула или вывод |
|---|---|---|
| Общий случай — основание и соответствующая высота | Основание a и высота h | S = ½ah |
| Прямоугольный треугольник — катеты | Катеты a и b | S = ½ab |
| Треугольники с общим основанием и равными высотами | Одинаковые основание и высота | Площади равны |
| Треугольники с общей высотой — связь площадей и оснований | Общая высота, основания a₁ и a₂ | S₁/S₂ = a₁/a₂ |
Основание треугольника равно 12 см, а высота к нему — 7 см. Требуется найти площадь. В условии уже даны обе величины, относящиеся к одной стороне, поэтому можно сразу применить основную формулу.
Ответ: 42 см². Единица площади записывается в квадратных сантиметрах, потому что перемножаются две длины.
Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 9 см. Нужно найти площадь. Катеты перпендикулярны, поэтому они уже образуют удобные основание и высоту.
Ответ: 27 см². Поменять катеты местами тоже можно, потому что произведение 6 · 9 не изменится.
Два треугольника имеют общую высоту, их основания равны 5 см и 8 см, а площадь первого равна 15 см². Требуется найти площадь второго. При общей высоте площади относятся так же, как основания, поэтому неизвестную площадь можно найти пропорцией.
Ответ: 24 см². Второе основание больше первого в 8/5 раза, поэтому и его площадь во столько же раз больше.
Забывают множитель ½ и считают площадь по формуле ah. Так происходит из-за смешения формул треугольника и параллелограмма. Проверьте себя: если фигура именно треугольник, перед произведением основания на высоту должна стоять половина.
Подставляют высоту, проведённую к другой стороне. Такая высота не соответствует выбранному основанию, поэтому результат будет неверным. Перед вычислением подпишите пару: основание a и высота h к этому же основанию.
Принимают за высоту любой наклонный отрезок от вершины к стороне. Высота обязана быть перпендикулярна прямой основания, то есть угол между ними должен быть 90°. Проверить это можно по значку прямого угла или по условию задачи.
У тупоугольного треугольника ищут высоту только внутри фигуры. Но перпендикуляр иногда попадает на продолжение стороны, и это не нарушает определения высоты. Продлите сторону за вершину и проведите перпендикуляр к полученной прямой.
Для этой темы нужно уметь распознавать перпендикуляр и находить расстояние от точки до прямой: именно так определяется высота. Формула треугольника выводится через площадь параллелограмма, поэтому полезно знать S = ah для параллелограмма. Позже многоугольники будут разбивать на треугольники и складывать найденные площади. Так одна формула помогает решать более сложные задачи на площади.
Почему в формуле площади треугольника появляется множитель 1/2?
Треугольник можно дополнить до параллелограмма с такими же основанием и высотой. Диагональ параллелограмма делит его на два равных по площади треугольника, поэтому площадь одного из них в два раза меньше.
Можно ли выбрать любую сторону треугольника основанием?
Да, любую сторону можно принять за основание. Но тогда нужно взять высоту, проведённую перпендикулярно именно к прямой, содержащей эту сторону.
Как провести высоту тупоугольного треугольника?
Сначала выберите сторону, к которой проводится высота, и продолжите её за вершину при необходимости. Из противоположной вершины проведите перпендикуляр к полученной прямой: его отрезок может оказаться вне треугольника.
Как найти площадь прямоугольного треугольника по его катетам?
Катеты прямоугольного треугольника перпендикулярны, поэтому один можно взять за основание, а другой — за высоту. Площадь вычисляют по формуле S = ½ab, где a и b — катеты.
Будут ли равны треугольники, если их площади одинаковы?
Нет, одинаковая площадь не означает равенство самих треугольников. Разные по форме и размерам треугольники могут занимать равные по площади области; такие треугольники называют равновеликими.
§ 22. Площадь треугольника
