104. Площадь треугольника

Определения и обозначения

Площадь треугольника — величина, показывающая, какую часть плоскости занимает треугольник. Её обычно обозначают буквой S. Площадь измеряют в квадратных единицах: например, в см², м² или км².

Основание треугольника — выбранная сторона, а высота к нему — перпендикуляр, опущенный из противоположной вершины на прямую, содержащую эту сторону. Перпендикуляр — это отрезок, образующий с прямой угол 90°. Основанием может быть любая сторона, но высоту каждый раз выбирают именно к ней.

Полупроизведение основания на высоту — способ вычислить площадь: S = ½ah, где a — основание, h — соответствующая ему высота. Сначала перемножают длины этих отрезков, затем результат делят на два. Такой расчёт нужен, когда известны основание и высота, даже если треугольник выглядит непривычно.

Как это устроено

Чтобы получить формулу площади треугольника, можно взять два одинаковых треугольника и соединить их так, чтобы получился параллелограмм. Его основание равно стороне треугольника, а высота — высоте, проведённой к этой стороне. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, поэтому площадь одного из двух равных треугольников вдвое меньше. Отсюда следует формула S = ½ah.

Высота должна быть перпендикулярна основанию, потому что именно перпендикулярное расстояние между параллельными прямыми входит в формулу площади параллелограмма. Наклонный отрезок длиннее такого расстояния и не задаёт нужную высоту. Если выбрать другую сторону треугольника основанием, соответствующая высота тоже изменится. Однако площадь останется прежней: оба способа описывают одну и ту же фигуру.

В тупоугольном треугольнике один из углов больше 90°, поэтому высоты к некоторым сторонам попадают на продолжения этих сторон. Например, высота из вершины острого угла может встретить не саму сторону, а прямую за пределами треугольника. Это не мешает вычислению: основанием считают выбранную сторону, а высотой — перпендикуляр до прямой, на которой она лежит. Поэтому S = ½ah подходит и для тупоугольного треугольника.

Площадь можно найти, даже если высота не дана, но известны две стороны и угол между ними. Если стороны равны a и b, а угол между ними — C, то высота к стороне a равна b sin C: это следует из определения синуса в прямоугольном треугольнике. Подставляя эту высоту в S = ½ah, получаем формулу S = ½ab sin C. Здесь важно использовать именно угол между сторонами a и b.

Формулу можно перестроить, чтобы найти неизвестную длину. Из S = ½ah следует h = 2S/a, а если неизвестно основание, то a = 2S/h. Так находят высоту или сторону, когда площадь и другая длина известны. При подстановке следи за единицами: например, если площадь дана в см², а основание — в сантиметрах, высота получится в сантиметрах.

Формулы площади треугольника и необходимые данные

Сначала определи, какие данные известны, и выбери соответствующую строку таблицы. В первой формуле высота должна относиться к указанному основанию, а во второй угол должен лежать между выбранными сторонами. Для равностороннего треугольника достаточно знать длину одной стороны.

Разбор задач

Основание треугольника равно 12 см, высота к нему — 7 см. Найдём площадь. Длины заданы для одной пары «основание — высота», поэтому можно сразу применить формулу S = ½ah. Ответ запишем в квадратных сантиметрах.

1. Запишем формулу: S = ½ah.
2. Подставим данные: S = ½ · 12 · 7 = 42.
3. Запишем единицы площади: S = 42 см².

Ответ: 42 см².

Две стороны треугольника равны 8 см и 10 см, угол между ними равен 30°. Нужно найти площадь. Здесь известны две стороны и угол, заключённый между ними, поэтому подойдёт формула с синусом. Синус 30° равен ½.

1. Проверим данные: угол 30° находится именно между сторонами 8 см и 10 см.
2. Запишем формулу и подставим значения: S = ½ab sin C = ½ · 8 · 10 · sin 30°.
3. Вычислим: S = 40 · ½ = 20 см².

Ответ: 20 см².

Площадь треугольника равна 42 см², основание — 12 см. Сначала найдём высоту к этому основанию, а затем выясним, какой будет высота при основании 14 см. Площадь треугольника при смене выбранного основания не меняется, но соответствующая высота становится другой. Для каждого основания используем равенство S = ½ah.

1. Выразим высоту: h = 2S/a.
2. Для основания 12 см получим h = 2 · 42/12 = 7 см.
3. При основании 14 см высота будет h = 2 · 42/14 = 6 см.

Ответ: к основанию 12 см высота равна 7 см; при выборе основания 14 см соответствующая высота равна 6 см.

Типичные ошибки

• Умножают основание на высоту и забывают разделить результат на два. Так бывает, если вспоминают формулу площади параллелограмма и переносят её без изменений. Проверь себя: треугольник занимает половину параллелограмма с теми же основанием и высотой, значит, в формуле нужен множитель ½.
• Подставляют высоту, проведённую к другой стороне. Ошибка возникает, когда считают, что любая высота подходит к любому основанию. Перед вычислением подпиши выбранные основание и высоту: перпендикуляр должен быть проведён именно к этому основанию.
• Принимают наклонный отрезок от вершины за высоту. Такой отрезок может казаться похожим на высоту, но не образует прямого угла с основанием. Проверь, что угол между отрезком и прямой основания равен 90°.
• В формуле через две стороны берут синус неподходящего угла. Часто выбирают любой угол треугольника, хотя формула требует угол между известными сторонами. Проследи, чтобы выбранные стороны образовывали этот угол; иначе формула S = ½ab sin C не описывает нужную высоту.

Связь с другими темами

Для вывода формулы площади треугольника нужны формулы площади прямоугольника и параллелограмма: треугольник можно рассматривать как половину фигуры с теми же основанием и высотой. Понятие высоты и свойства прямоугольного треугольника помогают понимать, почему в формуле с двумя сторонами появляется синус угла. Позже площадь треугольника используют в задачах на подобие и при вычислении площадей многоугольников. Формула S = ½ab sin C также связывает геометрию с тригонометрией.

Что запомнить

• Площадь треугольника равна половине произведения основания на соответствующую высоту.
• Формула S = ½ah верна для остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольника.
• Высота перпендикулярна прямой, содержащей выбранное основание.
• Основанием можно выбрать любую сторону треугольника.
• По двум сторонам и углу между ними площадь равна S = ½ab sin C.
• Площадь измеряют в квадратных единицах.