103. Площадь прямоугольника

Определения и обозначения

Площадь фигуры — величина, показывающая, сколько единичных квадратов покрывает фигура без наложений и пропусков. Её можно представить как меру занятой фигурой части плоскости. Это понятие нужно, чтобы сравнивать фигуры по размеру и решать задачи о покрытии поверхности.

Единица площади — площадь квадрата, сторона которого принята за единицу длины. Например, если за единицу длины взять сантиметр, квадрат со стороной 1 см задаёт единицу площади. Такое соглашение позволяет измерять разные фигуры одним способом.

Площадь прямоугольника — числовое значение площади прямоугольника, выраженное в квадратных единицах. Обычно площадь обозначают буквой S, а длины соседних сторон — буквами a и b. Эти обозначения помогают записывать правило вычисления и подставлять в него известные величины.

Квадратная единица — единица измерения площади, например квадратный сантиметр (см²) или квадратный метр (м²). Запись см² означает площадь квадрата со стороной 1 см, а не длину в сантиметрах. Квадратные единицы нужны, чтобы ответ показывал именно площадь.

Как это устроено

Представим, что прямоугольник покрывают одинаковыми квадратами, не оставляя промежутков и не накладывая квадраты друг на друга. Если сторона каждого такого квадрата принята за единицу длины, один квадрат соответствует одной единице площади. Тогда подсчёт квадратов показывает, сколько единиц площади содержится в прямоугольнике. Именно поэтому площадь можно находить через количество единичных квадратов.

Поделим прямоугольник на строки и столбцы единичных квадратов. Если вдоль одной стороны помещается a квадратов, а вдоль соседней — b, то в каждой строке будет a квадратов и таких строк будет b. Всего получится a + a + … + a, где слагаемое повторяется b раз. По смыслу умножения это число равно ab, поэтому S = ab.

В каждой строке и каждом столбце сторона квадратов укладывается в длину соответствующей стороны прямоугольника. Поэтому число квадратов вдоль одной стороны связано с её длиной, а число рядов — с длиной другой стороны. Их произведение и даёт площадь прямоугольника. Значит, в формуле перемножают длины двух соседних сторон, а не противоположных: у прямоугольника противоположные стороны равны.

Если длины сторон измерены в сантиметрах, при умножении см на см получается см². Это не просто условность: единица площади описывает квадрат, у которого обе стороны имеют длину в одну единицу. По той же причине метр, умноженный на метр, даёт м². Площадь всегда выражают в квадратных единицах, соответствующих выбранной единице длины.

Если одну сторону увеличить в несколько раз, а вторую оставить прежней, число рядов или квадратов в каждом ряду увеличится во столько же раз. Значит, площадь изменится в тот же коэффициент. Если изменить обе стороны, коэффициенты изменения перемножаются: например, увеличение каждой стороны в 2 раза увеличивает площадь в 4 раза. Это следует непосредственно из произведения S = ab.

Формулы для площади прямоугольника

Найди в таблице строку, соответствующую известным данным, и выбери формулу для нужной величины. Если ищешь сторону, раздели площадь на известную сторону; единицы площади при этом делятся на единицы длины. Перед вычислением проверь, что длины сторон выражены в одной единице.

Разбор задач

Задача 1. Найдите площадь прямоугольника со сторонами 8 см и 5 см. Известны обе соседние стороны, поэтому применяем формулу S = ab. Так как обе длины заданы в сантиметрах, переводить единицы не требуется.

1. Запишем формулу площади: S = ab.
2. Подставим значения сторон: S = 8 · 5 = 40.
3. Укажем квадратную единицу, поскольку перемножались сантиметры: 40 см².

Ответ: 40 см². Чтобы проверить результат, можно представить прямоугольник как 5 рядов по 8 квадратов площадью 1 см²: всего получится 40 таких квадратов.

Задача 2. Площадь прямоугольника равна 42 м², а одна из его сторон — 6 м. Найдите другую сторону. Неизвестную сторону обозначим b и выразим из формулы S = ab: для этого обе части равенства разделим на известную сторону a. Результат должен быть длиной, а не площадью.

1. Запишем формулу для неизвестной стороны: b = S/a.
2. Подставим данные: b = 42 м² / 6 м = 7 м.
3. Проверим: 7 м · 6 м = 42 м², значит, найденная сторона подходит.

Ответ: 7 м. При делении квадратных метров на метры остаются метры, поэтому размерность результата верна.

Задача 3. Прямоугольный участок имеет размеры 12 м и 8 м. Внутри него оставили дорожку шириной 1 м вдоль одной из длинных сторон. Найдите площадь оставшейся части. Сначала найдём площадь всего участка, затем площадь дорожки: её длина равна длине участка, то есть 12 м, а ширина — 1 м. Вычтем площадь дорожки из общей площади.

1. Площадь участка: 12 · 8 = 96 м².
2. Площадь дорожки: 12 · 1 = 12 м².
3. Площадь оставшейся части: 96 − 12 = 84 м².

Ответ: 84 м². Все размеры уже даны в метрах, поэтому переводить их не нужно. Если дорожка расположена вдоль длинной стороны, её длина равна 12 м, что и использовано в вычислении.

Типичные ошибки

Перемножают стороны, выраженные в разных единицах, например 2 м и 30 см, не переведя одну величину. Так получить верное числовое значение нельзя: сантиметры и метры задают разные масштабы измерения. Сначала переведи обе длины в метры или сантиметры, а затем умножай; проверить себя можно по тому, что в вычислении остались одинаковые единицы.

Записывают площадь в сантиметрах или метрах, забывая квадрат: например, указывают 40 см вместо 40 см². Так происходит, когда единицу длины путают с единицей площади. При умножении см на см получается см²; перед записью ответа проверь, что единицы возведены в квадрат.

Для площади складывают стороны или применяют формулу периметра, потому что смешивают две разные величины. Сумма длин границ показывает периметр, а площадь определяет, сколько места занимает фигура. Сверь вопрос задачи и единицы ответа: периметр измеряется в сантиметрах или метрах, площадь — в см² или м².

При поиске неизвестной стороны делят площадь не на ту сторону или не проверяют результат. Из равенства S = ab следует, что b = S/a, а a = S/b: делитель должен быть известной соседней стороной. Подставь найденное значение обратно в формулу; произведение сторон должно вернуть исходную площадь, а единицы результата должны быть единицами длины.

Связь с другими темами

Для работы с площадью прямоугольника нужно знать, как распознавать его стороны и находить периметр, а также уметь умножать величины и переводить единицы длины. Периметр и площадь описывают разные свойства фигуры, хотя в задачах часто даны рядом. Формула S = ab пригодится при разбиении сложных фигур на прямоугольники и сложении или вычитании их площадей. Она также помогает решать задачи о площадях параллелограмма, прямоугольного треугольника и прямоугольных участков.

Что запомнить

• Площадь измеряют в квадратных единицах.
• Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его соседних сторон.
• Формула площади прямоугольника: S = ab.
• Чтобы найти неизвестную сторону, нужно площадь разделить на известную сторону.
• Площадь квадрата со стороной a равна a².
• Перед вычислением необходимо привести все длины к одной единице.
• Ответ о площади записывают с квадратной единицей измерения.