"Геометрия", Берсенев А. В., Сафонова Н. В.
Площадь прямоугольника показывает, сколько места занимает фигура внутри своих границ, и измеряется квадратными единицами. Чтобы найти её, нужно перемножить длины двух смежных сторон: S = ab. Перед вычислением длины приводят к одной единице, а ответ записывают в соответствующих квадратных единицах. Формула помогает также находить неизвестную сторону, если известны площадь и другая сторона, и понимать, как меняется площадь при изменении размеров прямоугольника.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь прямоугольника — величина, показывающая, сколько единичных квадратов помещается внутри прямоугольника. Её обозначают буквой S. Это помогает сравнивать фигуры по занимаемому месту и решать практические задачи, например рассчитывать площадь пола или участка.
Квадратная единица — площадь квадрата, сторона которого равна одной единице длины. Например, квадратный сантиметр записывают как см², а квадратный метр — как м². При возведении единицы длины в квадрат получают единицу площади: 1 м² = 1 м · 1 м; так обозначают, в каких единицах измерена поверхность.
Стороны прямоугольника — его смежные стороны, то есть две стороны, имеющие общую вершину. Их длины обычно обозначают буквами a и b. Достаточно знать именно эти две длины, потому что противоположные стороны прямоугольника равны соответствующим смежным сторонам.
Формула площади прямоугольника — S = ab, где S — площадь, а a и b — длины смежных сторон. Буквенное произведение означает, что длину a умножают на длину b. Перед вычислением обе длины выражают в одинаковых единицах, тогда ответ получается в квадратных единицах этой меры.
Площадь можно представить как количество одинаковых квадратов, которыми без промежутков и наложений покрыли прямоугольник. Если сторона каждого такого квадрата равна единице длины, он является единичным квадратом. Поэтому подсчёт этих квадратов даёт численное значение площади. Способ нагляден: чем больше квадратов требуется для покрытия, тем больше площадь фигуры.
Расположим единичные квадраты ровными рядами и столбцами. В одном ряду помещается столько квадратов, сколько единиц длины приходится на сторону прямоугольника, параллельную этому ряду. Количество рядов определяется длиной другой стороны. Чтобы узнать общее число квадратов, число квадратов в одном ряду умножают на число рядов: повторяющиеся одинаковые группы удобно считать умножением.
Когда обе стороны имеют целые значения в выбранных единицах, подсчёт можно выполнить непосредственно. Например, при длинах 4 и 3 единицы получится 4 квадрата в ряду и 3 ряда, то есть 4 · 3 = 12 квадратов. Для сторон a и b рассуждение такое же: в каждом ряду a квадратов, а рядов b, поэтому S = ab. Формула обобщает подсчёт для любых целых длин.
Если длина стороны дробная, единицу измерения можно разделить на меньшие равные части. Тогда прямоугольник разбивается на квадраты меньшего размера, и площадь по-прежнему измеряется подсчётом таких квадратов; результат при этом может быть дробным. Формула сохраняется, потому что площадь прямоугольника определяется тем же произведением длин, выраженных в выбранных единицах. Например, при измерении в сантиметрах стороны 2,5 см и 4 см дают площадь 10 см².
Формулу можно использовать и в обратном направлении. Если известны S и одна сторона a, то из равенства S = ab следует b = S : a; неизвестную длину находят делением площади на известную сторону. Деление устраняет множитель a, поэтому умножать на него ещё раз не нужно. Проверка проста: найденную сторону умножают на известную и убеждаются, что получилось заданное значение площади.
| Что известно | Формула | Что найти | Единицы |
|---|---|---|---|
| Длины сторон a и b | S = ab | Площадь S | Если стороны в см, площадь в см²; если в м — в м² |
| Площадь S и сторона a | b = S : a | Сторону b | Единица площади делится на единицу длины |
| Площадь S и сторона b | a = S : b | Сторону a | Единица площади делится на единицу длины |
| Перевод единиц площади | 1 м² = 10 000 см²; 1 см² = 100 мм² | Значение площади в другой единице | При переходе к меньшей единице число увеличивается |
Сначала найди в таблице строку, соответствующую данным задачи, и выбери формулу для искомой величины. Проверь, что длины сторон записаны в одной единице, а затем согласуй единицу ответа с условием. При переводе площади помни: коэффициент перевода длины нужно возвести в квадрат.
Задача 1. Найти площадь прямоугольника со сторонами 8 см и 5 см. Обе длины уже выражены в сантиметрах, поэтому их можно подставить в формулу без предварительного перевода. Поскольку умножаются сантиметры на сантиметры, площадь будет в квадратных сантиметрах.
Ответ: 40 см².
Задача 2. Площадь прямоугольника равна 48 м², одна сторона — 6 м. Нужно найти другую сторону. Площадь уже выражена в квадратных метрах, а известная длина — в метрах, поэтому результат деления будет в метрах.
Ответ: 8 м.
Задача 3. Прямоугольная площадка имеет размеры 2,4 м и 75 см. Найти её площадь в квадратных сантиметрах. Нельзя сразу перемножать записанные числа: длины даны в разных единицах. Переведём метры в сантиметры, чтобы и вычисление, и ответ соответствовали требованию.
Ответ: 18 000 см².
Перемножать длины, записанные в разных единицах, нельзя без предварительного перевода. Например, произведение чисел 2,4 и 75 само по себе не даёт площадь в нужных единицах, если первое число — метры, а второе — сантиметры. Ошибка возникает, когда при вычислении учитывают числа, но забывают о единицах. Перед умножением проверь, что обе стороны выражены, например, в сантиметрах.
Площадь иногда ошибочно записывают в линейных единицах, например в сантиметрах вместо квадратных сантиметров. Это происходит, если смотреть только на числа и не учитывать, что умножаются две длины. Проверка размерности проста: см · см = см², а м · м = м². Поэтому после вычисления обязательно указывай квадратную единицу.
При известных площади и стороне неизвестную сторону находят делением, а не умножением. Умножение на известную длину увеличит значение и не отменит этот множитель из формулы S = ab. Ошибку легко заметить обратной проверкой: стороны должны дать заданную площадь при умножении. Запиши сначала формулу для неизвестной стороны, например b = S : a.
Если обе стороны увеличить в несколько раз, площадь изменится не в то же число раз, а в квадрат этого числа. Эту ошибку допускают, учитывая изменение только одной стороны и забывая, что в формуле есть два множителя. Например, увеличение обеих сторон в 2 раза даёт 2a · 2b = 4ab. Чтобы проверить рассуждение, подставь коэффициент увеличения отдельно к каждой стороне.
Для вычислений с площадью нужны навыки умножения и деления: стороны перемножают, а неизвестную сторону находят делением площади на известную длину. Также необходимо переводить единицы длины, например метры в сантиметры, и учитывать соответствующие квадратные единицы. Понятие площади и идея измерения единичными квадратами пригодятся при изучении треугольника, параллелограмма и других фигур. В этих темах формулы будут отличаться, но площадь по-прежнему измеряется квадратными единицами.
Почему площадь прямоугольника равна произведению его сторон?
Если разбить прямоугольник на единичные квадраты, в каждом ряду будет столько квадратов, сколько единиц составляет одна сторона. Число рядов задаёт другая сторона, поэтому общее количество квадратов равно произведению длин сторон.
В каких единицах нужно выражать стороны перед вычислением площади?
Обе стороны нужно выразить в одинаковых единицах длины, например в сантиметрах или метрах. Тогда произведение будет выражено в соответствующих квадратных единицах.
Почему площадь измеряется в квадратных единицах?
Площадь измеряют, сравнивая фигуру с квадратом, у которого сторона равна единице длины. Поэтому единица площади — это площадь такого квадрата, например квадратный сантиметр или квадратный метр.
Как найти сторону прямоугольника, если известны площадь и другая сторона?
Площадь равна произведению сторон, поэтому неизвестную сторону находят делением площади на известную сторону. Например, если S = 48 м² и a = 6 м, то b = 48 : 6 = 8 м.
Как изменится площадь, если каждую сторону увеличить в два раза?
Площадь станет в четыре раза больше. Каждая из двух сторон увеличивается в два раза, поэтому их произведение увеличивается в 2 · 2 = 4 раза.
5.2. Площадь прямоугольника
