5.3. Площадь параллелограмма

Определения и обозначения

Площадь параллелограмма — величина, показывающая, сколько единичных квадратов содержится внутри фигуры; её обозначают буквой S. Единичный квадрат имеет стороны длиной в одну выбранную единицу, например сантиметр. Площадь нужна, чтобы сравнивать размеры фигур и решать задачи о покрытии или заполнении поверхности. Для параллелограмма её находят по специальной формуле.

Основание параллелограмма — сторона, выбранная для вычисления площади. Основанием может быть любая из четырёх сторон, поэтому в разных задачах удобно выбирать разные стороны. Выбор основания определяет, какую высоту нужно использовать. Без такой пары нельзя правильно подставить данные в формулу.

Высота параллелограмма — перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. Перпендикуляр образует с этой прямой прямой угол. Высота всегда соответствует выбранному основанию, а не любой стороне фигуры. Она может проходить внутри параллелограмма или за его пределами.

Единица площади — единица, которой измеряют площадь, например см² или м². Если основание измерено в сантиметрах, высоту тоже нужно выразить в сантиметрах. Тогда произведение длин будет записано в квадратных сантиметрах. Одинаковые единицы помогают избежать ошибки при вычислении.

Как это устроено

Параллелограмм можно преобразовать в прямоугольник, не меняя его площадь. Для этого у одного края отрезают треугольник, образованный высотой и частью стороны, а затем переносят его к другому краю. Перенесённый треугольник точно заполняет наклонный участок, потому что противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны. В итоге получается прямоугольник, составленный из тех же частей, что и исходная фигура.

У полученного прямоугольника одна сторона равна основанию параллелограмма, а другая — проведённой к нему высоте. Площадь прямоугольника равна произведению длин его соседних сторон. Поскольку перестановка частей не меняет площадь, площадь параллелограмма равна площади этого прямоугольника. Поэтому получаем формулу S = ah, где a — основание, h — соответствующая высота.

Наклонная боковая сторона не заменяет высоту, потому что она обычно не образует прямого угла с основанием. Высота показывает расстояние между прямыми, на которых лежат противоположные стороны, а это расстояние измеряется именно перпендикуляром. Если вместо высоты подставить наклонную сторону, получится произведение длин двух сторон, как будто перед нами прямоугольник. Такой расчёт верен только в особом случае, когда эти стороны перпендикулярны.

Если на чертеже даны несколько сторон и перпендикуляров, сначала найдите прямой угол. Затем определите, к какой стороне проведён перпендикуляр: именно эта сторона и есть подходящее основание. Например, для стороны a нужна высота, образующая прямой угол с прямой, содержащей a. Перед вычислением полезно назвать пару вслух: «основание и высота к нему».

Площадь не меняется, если выбрать другую сторону основанием и взять соответствующую ей высоту. Причина в том, что обе такие пары описывают одну и ту же фигуру, а не разные параллелограммы. При более длинном основании соответствующая высота может быть короче, а при более коротком — длиннее. В обоих случаях произведение основания на высоту равно одной и той же площади.

Вычисление площади параллелограмма

В таблице собраны варианты выбора основания и правила для соответствующей высоты. В каждой строке нужно использовать основание вместе с высотой, проведённой именно к нему. Если известны другие данные, сначала проверьте, образуют ли они такую пару.

Разбор задач

Задача 1. Основание параллелограмма равно 8 см, а высота, проведённая к нему, — 5 см. Найдите площадь. Даны именно основание и соответствующая ему высота, поэтому можно сразу применить формулу S = ah. Обе длины выражены в сантиметрах.

1. Записываем формулу: S = ah.
2. Подставляем данные: S = 8 · 5.
3. Вычисляем произведение и указываем квадратные единицы.

8 · 5 = 40, значит, площадь равна 40 см². Квадратные сантиметры появляются потому, что перемножены две длины в сантиметрах. Ответ: 40 см².

Задача 2. Стороны параллелограмма равны 6 см и 10 см, высота к стороне 10 см равна 4 см. Найдите площадь. Здесь известно, к какой стороне проведена высота, поэтому именно эту сторону нужно выбрать основанием. Сторона 6 см не является высотой: в условии это длина наклонной стороны.

1. Выбираем основание a = 10 см, так как к нему дана высота.
2. Используем соответствующую высоту h = 4 см.
3. Подставляем: S = ah = 10 · 4 = 40 см².

Перемножать 6 см и 10 см нельзя: это две стороны, а не основание и высота. Чтобы использовать сторону 6 см как основание, потребовалось бы знать высоту к ней. Ответ: 40 см².

Задача 3. Площадь параллелограмма равна 42 см², основание — 7 см. Найдите высоту к этому основанию и проверьте, может ли высота к другой стороне быть такой же. Чтобы найти высоту, нужно выразить её из формулы площади. Для сравнения с высотой к другой стороне понадобятся длина этой стороны и соответствующая ей высота.

1. Записываем формулу S = ah и выражаем высоту: h = S / a.
2. Подставляем значения: h = 42 / 7 = 6 см.
3. Проверяем: 7 · 6 = 42 см², что совпадает с заданной площадью.

Высота к другой стороне может оказаться такой же, но из данных задачи это не следует. Она будет равна 6 см только тогда, когда произведение другой стороны на её высоту тоже равно 42 см². Ответ: высота к основанию 7 см равна 6 см; о высоте к другой стороне без дополнительных данных судить нельзя.

Типичные ошибки

Ошибка: перемножить две стороны параллелограмма, как у прямоугольника. Так делают, потому что в формуле площади прямоугольника используются длины его сторон, но у наклонного параллелограмма боковая сторона обычно не равна высоте. Проверка: убедитесь, что один из множителей перпендикулярен основанию; если это не так, найдите высоту.

Ошибка: взять высоту, проведённую к другой стороне. На чертеже может быть несколько перпендикуляров, и легко перепутать, к какой стороне относится каждый. Проверка: проследите, с какой прямой образует прямой угол высота, и используйте именно эту сторону как основание.

Ошибка: считать, что высота обязательно проходит внутри параллелограмма. Такое представление возникает, если помнить только случаи с острыми углами, однако при тупом угле перпендикуляр может попасть на продолжение стороны. Проверка: рассматривайте прямую, содержащую основание, а не только сам отрезок стороны. Внешнее положение высоты не мешает подставить её длину в формулу.

Ошибка: не привести основание и высоту к одинаковым единицам. Например, если основание дано в метрах, а высота — в сантиметрах, их нельзя сразу перемножать как записанные числа. Проверка: переведите обе длины в одну единицу, затем вычислите произведение и укажите площадь в квадратных единицах. Так результат будет согласован с исходными величинами.

Связь с другими темами

Для понимания формулы полезно знать площадь прямоугольника: она равна произведению его соседних сторон. Преобразование параллелограмма в равновеликий прямоугольник показывает, откуда берётся формула S = ah. Также необходимо понимать, что перпендикуляр образует с прямой угол, и уметь находить такой отрезок на чертеже.

Понятие высоты и выбор подходящей пары «основание — высота» встречаются и при вычислении площади треугольника. Умение находить перпендикуляр пригодится и для других многоугольников. Поэтому важно следить не только за длинами отрезков, но и за тем, как они расположены друг относительно друга.

Что запомнить

• Площадь параллелограмма равна произведению основания на соответствующую высоту: S = ah.
• Основанием можно выбрать любую сторону параллелограмма.
• Высота к основанию перпендикулярна прямой, содержащей это основание.
• Наклонная сторона не заменяет высоту, если она не перпендикулярна основанию.
• При вычислении площади основание и высота должны быть выражены в одинаковых единицах.
• Площадь измеряется в квадратных единицах.