125. Площадь параллелограмма

Определения и обозначения

Площадь параллелограмма — величина, которая показывает, сколько единичных квадратов занимает фигура; её обозначают буквой S. Например, площадь в квадратных сантиметрах показывает, сколько квадратов со стороной 1 см можно уложить на фигуру. Площадь нужна, чтобы сравнивать фигуры и находить размер занимаемой ими части плоскости.

Основание параллелограмма — сторона, относительно которой рассматривают высоту. Основанием можно выбрать любую сторону, поэтому перед вычислением полезно назвать выбранную сторону. От этого выбора зависит, какую высоту нужно использовать в формуле.

Высота параллелограмма — перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. Перпендикуляр образует с этой прямой прямой угол, поэтому высота показывает расстояние между параллельными сторонами. Она нужна для вычисления площади; наклонная сторона её не заменяет.

Формула площади параллелограмма — равенство S = ah, где a — выбранное основание, а h — проведённая к нему высота. Буквы a и h обозначают длины отрезков, а S — площадь фигуры. Формула помогает найти площадь, если известны основание и соответствующая ему высота.

Как это устроено

Представь параллелограмм с горизонтальным основанием и высотой, опущенной к нему. У одного края можно отрезать прямоугольный треугольник, граница которого содержит высоту, а затем перенести его к противоположному краю. Наклонные края после перестановки заполняются этим треугольником, и получается прямоугольник. Его ширина равна основанию параллелограмма, а высота — расстоянию между его параллельными сторонами.

Площадь полученной фигуры равна площади исходной, потому что при разрезании ни одна часть не исчезает и не добавляется. Перемещённый треугольник лишь занимает другое место, а общая площадь частей остаётся прежней. Значит, чтобы найти площадь параллелограмма, можно найти площадь прямоугольника, который из него составили. Этот приём работает и тогда, когда высота лежит вне фигуры: перпендикуляр всё равно задаёт расстояние между параллельными сторонами.

Площадь прямоугольника находят умножением длины на ширину. У прямоугольника, полученного из параллелограмма, эти размеры равны основанию a и высоте h. Поэтому площадь параллелограмма выражается произведением тех же величин: S = ah. Умножать нужно длины, измеренные в одних единицах, а результат будет в квадратных единицах.

Для формулы важно брать высоту, проведённую именно к выбранному основанию. Высота показывает расстояние между парой параллельных сторон, на одной из которых выбрано основание; высота к другой стороне измеряет другое расстояние. Поэтому к основанию a подставляют его высоту h, а не любой отрезок, похожий на высоту. Согласованная пара даёт правильную площадь.

Иногда перпендикуляр из вершины попадает не на сам отрезок основания, а на его продолжение. Это не мешает вычислению: прямая, содержащая основание, проходит вдоль той же стороны, а расстояние до параллельной ей стороны сохраняется. Продли основание и отметь прямой угол между продолжением и высотой. Длину этого перпендикуляра подставляй в S = ah как обычно.

Площадь параллелограмма при разных выбранных основаниях

Выбери строку по стороне, длина которой известна или удобна для вычислений. Затем найди высоту, проведённую перпендикулярно именно к этой стороне или к её продолжению. Обе строки дают одну и ту же площадь фигуры, хотя множители могут быть разными.

Разбор задач

Основание параллелограмма равно 8 см, проведённая к нему высота — 5 см. Нужно найти площадь. В условии дана подходящая пара: известны выбранное основание и высота именно к нему. Поэтому можно сразу применить формулу S = ah.

1. Запишем формулу: S = ah.
2. Подставим значения: S = 8 · 5 = 40.
3. Проверим единицы: сантиметры умножаются на сантиметры, значит, площадь выражена в квадратных сантиметрах.

Ответ: 40 см².

Площадь параллелограмма равна 42 см², а основание — 7 см. Требуется найти высоту, проведённую к этому основанию. Здесь площадь и основание известны, поэтому нужно преобразовать формулу S = ah, разделив обе её части на a. Получится h = S / a.

1. Запишем формулу для высоты: h = S / a.
2. Подставим данные: h = 42 / 7 = 6.
3. Проверим единицы: см² делим на см, поэтому ответ измеряется в сантиметрах.

Ответ: 6 см.

Стороны параллелограмма равны 10 см и 6 см, а высота к стороне 10 см равна 4 см. Нужно найти площадь и высоту к стороне 6 см. Сначала используем известную пару «сторона 10 см — высота 4 см», чтобы получить площадь. Затем применим ту же формулу к стороне 6 см: площадь фигуры не изменится при выборе другого основания.

1. Найдём площадь по стороне 10 см: S = 10 · 4 = 40 см².
2. Обозначим высоту к стороне 6 см через h и запишем 40 = 6h.
3. Разделим площадь на основание: h = 40 / 6 = 20/3 см, или 6⅔ см.

Ответ: площадь — 40 см², высота к стороне 6 см — 20/3 см.

Типичные ошибки

Некоторые умножают две стороны параллелограмма и считают результат площадью. Так поступают, вспоминая формулу прямоугольника, где соседние стороны одновременно являются основанием и высотой. У наклонного параллелограмма сторона обычно не перпендикулярна основанию, поэтому такое произведение неверно. Проверь, образует ли множитель прямой угол с выбранным основанием; если нет, нужна высота.

Другая ошибка — подставить высоту, проведённую к соседней стороне. Её допускают, когда длины двух высот не различают и смотрят только на то, что обе они перпендикулярны каким-то сторонам. Сверь, к какой стороне проведён перпендикуляр: он должен соответствовать основанию в формуле. При смене основания необходимо сменить и высоту.

Наклонную боковую сторону иногда принимают за высоту, поскольку она соединяет верхнюю и нижнюю части параллелограмма. Но высота определяется не положением внутри фигуры, а прямым углом к основанию. Чтобы проверить отрезок, мысленно или с помощью угольника проверь угол между ним и основанием. Если угол не прямой, этот отрезок не высота.

Площадь могут записать в сантиметрах вместо квадратных сантиметров. Ошибка возникает, если при умножении забыть, что перемножаются две длины: см · см = см². Проверь единицы в условии и в ответе: площадь должна быть выражена квадратными единицами, например см² или м². Если находишь высоту делением площади на длину, результат, наоборот, будет линейным.

Связь с другими темами

Для вывода формулы нужно знать формулу площади прямоугольника и понимать, что площадь сохраняется при разрезании фигуры на части и перемещении этих частей. Понятие перпендикуляра и умение проводить высоту помогают находить расстояние между параллельными прямыми; это пригодится и при изучении площадей других фигур. Формула площади параллелограмма станет опорой при изучении площади треугольника: треугольники можно сопоставлять с параллелограммами. Она также используется в задачах на площадь составных фигур, которые разбивают на более простые части.

Что запомнить

• Площадь параллелограмма равна произведению основания на соответствующую высоту.
• Формула площади: S = ah.
• Высота перпендикулярна основанию или его продолжению.
• Для одной стороны высотой служит только высота, проведённая к этой стороне.
• Площадь выражают в квадратных единицах.
• У параллелограмма можно выбирать разные основания, но высоту каждый раз нужно брать соответствующую.