"Геометрия", Погорелов А.В.
Площадь показывает, сколько места фигура занимает на плоскости. Для прямоугольника её находят по двум смежным сторонам: S = ab. Такая формула помогает вычислять площадь комнаты, участка или листа, а ещё находить неизвестную сторону, если известны площадь и другая сторона. Перед вычислением длины приводят к одинаковым единицам, а результат записывают в квадратных единицах — например, в см² или м².
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь фигуры — величина, показывающая, сколько места фигура занимает на плоскости. Её можно сравнить с площадью другой фигуры: если одну и ту же часть плоскости занимает больше одинаковых квадратов, площадь больше. Это понятие позволяет не только сравнивать фигуры, но и измерять занимаемое ими место.
Единица площади — площадь квадрата со стороной, равной выбранной единице длины. Например, квадратный сантиметр (см²) — площадь квадрата со стороной 1 см, а квадратный метр (м²) — площадь квадрата со стороной 1 м. Такие единицы помогают выражать площадь числом и сравнивать результаты измерений.
Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон, то есть сторон, которые имеют общую вершину. Если длины сторон обозначить a и b, формула будет такой: S = ab. Она нужна, чтобы быстро вычислить, сколько места занимает прямоугольник, не пересчитывая каждый квадрат внутри него.
Квадратная единица — единица измерения площади, например см² или м². В записи стоит показатель ², потому что площадь измеряют квадратами, а не отрезками: единичный квадрат имеет две стороны одинаковой длины. Поэтому произведение сантиметров на сантиметры даёт квадратные сантиметры, а не сантиметры.
Сравнивать площади можно, мысленно покрыв фигуры одинаковыми квадратами. Квадраты должны закрыть всю фигуру, но не выходить за её границу, не оставлять промежутков и не накладываться друг на друга. Тогда достаточно сравнить число квадратов: где их помещается больше, там и площадь больше. Этот способ работает, потому что для обеих фигур используется одна и та же мерка.
Чтобы измерить площадь, считают единичные квадраты, полностью покрывающие фигуру. У прямоугольника считать их по одному неудобно, зато квадраты легко расположить ровными рядами. Так измерение превращается в подсчёт не каждого квадрата отдельно, а количества квадратов в ряду и количества рядов. Ровная форма прямоугольника делает такую группировку возможной.
Пусть в одном ряду помещается a квадратов, а рядов — b. Тогда всего квадратов будет a + a + … + a, где слагаемое a повторяется b раз; это сумма равна произведению ab. Поэтому число единичных квадратов внутри прямоугольника связано с длинами его сторон: одна сторона задаёт число квадратов в ряду, другая — число рядов. Так появляется формула S = ab.
Перед подстановкой в формулу обе стороны нужно выразить в одинаковых единицах длины. Иначе числа будут обозначать разные мерки, и их произведение нельзя правильно истолковать. Например, если одна сторона задана в метрах, а другая в сантиметрах, сначала переведи одну из них. После умножения результат записывают в квадратных единицах выбранной длины.
Формулу можно использовать и в обратную сторону, если площадь и одна сторона уже известны. Из равенства S = ab следует, что a = S : b, а b = S : a: произведение делят на известный множитель. Деление отвечает на вопрос, сколько единиц длины приходится на один ряд или сколько рядов получится. Поэтому ответом будет длина, а не площадь.
Найди в таблице, какие величины известны, и выбери соответствующую формулу. Перед вычислением проверь единицы длины: они должны совпадать. Для площади квадрата подставь одну и ту же сторону вместо обоих множителей.
| Что требуется найти | Формула | Единицы результата |
|---|---|---|
| Площадь при известных длине a и ширине b | S = ab | Квадратные единицы: см², м² и другие |
| Неизвестная сторона при известных площади S и другой стороне | a = S : b или b = S : a | Единицы длины |
| Площадь квадрата со стороной a | S = a² | Квадратные единицы: см², м² и другие |
| Площадь при длинах сторон в разных единицах | Привести длины к одной единице, затем S = ab | Квадратные единицы выбранной меры |
Известны обе стороны, поэтому нужна формула площади прямоугольника. Обе длины уже даны в сантиметрах, значит, переводить единицы не требуется. Произведение покажет число квадратов со стороной 1 см, которыми можно заполнить прямоугольник.
Ответ: 24 см².
Теперь площадь известна, а одна из сторон неизвестна. В формуле S = ab неизвестная сторона является множителем, поэтому нужно найти, на сколько равных частей по 7 см можно разделить площадь. Для этого площадь делят на известную сторону, а единицы см² : см дают сантиметры.
Ответ: другая сторона равна 6 см. Проверка: 7 · 6 = 42 см².
Стороны записаны в разных единицах, поэтому сразу перемножать числа нельзя. Выберем метры и переведём сантиметры в метры: в одном метре 100 сантиметров. После перевода можно применить формулу и понять, в каких квадратных единицах записать результат.
Ответ: 0,42 м².
Результат иногда записывают в сантиметрах или метрах, забывая квадратный показатель. Так бывает, когда площадь принимают за длину, хотя она показывает число квадратов. Проверь себя: если перемножались сантиметры, ответ должен быть в см²; если метры — в м².
Другая ошибка — перемножить длины, записанные в разных единицах, например число метров и число сантиметров. Числа относятся к разным меркам, поэтому такое вычисление не даёт правильной площади. Перед умножением переведи обе стороны в одну единицу и проверь, что результат записан в соответствующих квадратных единицах.
При поиске неизвестной стороны иногда умножают площадь на известную сторону. Ошибку допускают, потому что вспоминают основную формулу, но не преобразуют её. Из S = ab следует деление: S : a = b; проверь результат, подставив его в исходную формулу и убедившись, что произведение равно площади.
Некоторые считают, что перестановка длины и ширины изменит площадь. Но умножение сторон даёт тот же результат при перестановке множителей: ab = ba. Чтобы проверить вычисление, умножь числа в обратном порядке: площадь должна остаться прежней.
Для вычислений нужны навыки умножения и деления, измерения отрезков и перевода единиц длины. Понятие площади и квадратные единицы пригодятся, когда вы будете находить площади других фигур. Формулу для прямоугольника можно применять и к квадрату: квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны, поэтому его площадь со стороной a равна a².
Почему площадь прямоугольника находят умножением сторон?
Если покрыть прямоугольник одинаковыми квадратами, они расположатся рядами. Число квадратов в ряду умножают на число рядов, поэтому получается произведение сторон.
В каких единицах записывать площадь?
Площадь записывают в квадратных единицах: например, см² или м². Верхний индекс ² показывает, что единица площади соответствует квадрату с такой длиной стороны.
Что делать, если стороны даны в разных единицах?
Сначала переведи обе длины в одну единицу, например сантиметры или метры. Затем перемножь их, а результат запиши в квадратных единицах этой меры.
Как найти сторону прямоугольника, если известны площадь и другая сторона?
Раздели площадь на известную сторону: a = S : b или b = S : a. Проверь, что единицы длины и площади согласованы.
Меняется ли площадь, если поменять местами длину и ширину?
Нет, площадь не меняется. При перестановке сторон произведение остаётся тем же: ab = ba.
124. Площадь прямоугольника
