"Геометрия", Погорелов А.В.
Площадь показывает, какую часть плоскости занимает фигура. Она нужна, чтобы сравнивать фигуры по размеру и измерять поверхности — например, пол комнаты или земельный участок. Площадь измеряют квадратными единицами: единицей служит площадь квадрата с заданной стороной. Если фигуру можно разбить на части без наложений, её площадь находят сложением площадей частей. Число зависит от выбранной единицы, поэтому при её смене нужно учитывать квадрат переходного коэффициента.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь фигуры — величина, характеризующая размер части плоскости, занимаемой фигурой. Это не длина границы: две фигуры с разными очертаниями могут занимать одинаковую часть плоскости. Понятие площади помогает сравнивать фигуры и измерять поверхности.
Единица площади — площадь квадрата, сторона которого принята за единицу длины. Квадрат удобен как мерка, потому что он занимает участок плоскости и его можно повторять без промежутков и наложений. Выбранную единицу используют, чтобы выразить площадь числом.
Квадратный сантиметр — площадь квадрата со стороной 1 см; обозначается см². Верхняя двойка показывает, что речь идёт о квадратной, а не линейной мере. Такая единица подходит для измерения небольших фигур и поверхностей.
Измерение площади — сравнение площади фигуры с выбранной единицей площади и выражение результата числом. Например, число 12 см² означает, что площадь равна площади двенадцати квадратов со стороной 1 см. Запись с единицей нужна, чтобы было понятно, какую мерку использовали.
Для площади выбирают квадратную единицу, потому что измеряемая фигура занимает часть плоскости, а не только тянется вдоль линии. Единица длины сама по себе — отрезок, у которого нет ширины, поэтому ею нельзя заполнить поверхность. Квадраты можно расположить рядом и получить мерку, покрывающую плоскость. Так измерение площади становится подсчётом одинаковых участков.
Чтобы найти площадь, сравнивают фигуру с единичным квадратом: выясняют, сколько таких квадратов покрывает её без пропусков и наложений. Если помещается 7 квадратных единиц, численное значение площади равно 7. Результатом становится число, потому что оно показывает количество выбранных мерок. Вместе с числом указывают квадратную единицу, иначе неизвестно, с каким квадратом проводилось сравнение.
Численное значение зависит от размера единичного квадрата. Если единицу длины уменьшить в 10 раз, сторона квадратной единицы тоже станет в 10 раз короче, и на прежнем месте поместится в 10 раз больше квадратов по каждой стороне. Всего их станет в 10 × 10 = 100 раз больше. Поэтому одна и та же площадь получает разные числа при измерении в разных единицах, хотя сама фигура не меняется.
Сложную фигуру часто удобно разделить на более простые части, площади которых можно определить отдельно. Если части не перекрываются и вместе полностью составляют исходную фигуру, площади складывают. Причина в том, что каждый участок плоскости учитывается ровно один раз. Если части перекрываются, общую область нужно исключить из подсчёта или выбрать другое разбиение.
Свойства площади позволяют не измерять каждую фигуру заново. Равные фигуры имеют равные площади: при совмещении они занимают одну и ту же часть плоскости. Площадь единичного квадрата принимают за 1, а площадь фигуры, составленной из неперекрывающихся частей, равна сумме площадей этих частей. Эти правила дают способы сравнивать фигуры и находить неизвестную площадь.
| Положение или свойство | Что оно означает | Как применять |
|---|---|---|
| Единица площади | Площадь единичного квадрата принимается за 1 | Сравнивать фигуру с квадратной единицей |
| Равные фигуры | Равные фигуры имеют равные площади | Переносить известную площадь при наложении или совмещении фигур |
| Разбиение фигуры на части | Площадь фигуры равна сумме площадей неперекрывающихся частей | Складывать площади частей |
| Изменение единицы измерения | Численное значение площади зависит от выбранной единицы | Учитывать переход между квадратными единицами |
Сначала определите, какое свойство подходит к задаче: сравнение с единицей, равенство фигур или разбиение на части. Затем проверьте, в каких единицах выражены площади. При переходе к другой единице пересчитывайте не длину, а квадратную мерку.
Задача 1. Фигура разбита на 12 неперекрывающихся квадратов со стороной 1 см. Найдите её площадь. Каждый маленький квадрат имеет площадь 1 см², а части не накладываются друг на друга. Поэтому можно сложить их площади.
Ответ: 12 см². Подсчёт подходит, потому что квадраты полностью составляют фигуру и ни один участок не посчитан повторно.
Задача 2. Площадь фигуры равна 3 дм². Выразите её в квадратных сантиметрах. Нельзя умножить на 10 только потому, что в одном дециметре десять сантиметров: площадь учитывает два направления. Поэтому нужно перевести обе стороны квадратной единицы.
Ответ: 300 см². Проверка: при переходе к меньшей единице численное значение должно увеличиться.
Задача 3. Фигура составлена из прямоугольника и двух треугольников; площади частей равны 24 см², 6 см² и 6 см². Найдите площадь фигуры. По условию части составляют целую фигуру и не перекрываются. Значит, её площадь равна сумме площадей трёх частей.
Ответ: 36 см². Если бы части перекрывались, простое сложение посчитало бы общую область дважды, но в этой задаче такого условия нет.
Площадь иногда записывают в сантиметрах, путая её с длиной. Такая ошибка возникает, когда забывают, что площадь измеряет поверхность, а не протяжённость отрезка. Проверьте себя: если речь о площади, единица должна быть квадратной — например, см².
При переводе дм² в см² могут умножить на 10, потому что 1 дм = 10 см. Но площадь квадрата зависит от обеих сторон, поэтому число квадратных сантиметров увеличивается в 10 × 10 = 100 раз. Для проверки представьте квадрат со стороной 1 дм и посчитайте, сколько квадратов со стороной 1 см покрывают его.
Ещё одна ошибка — складывать площади перекрывающихся частей. Её допускают, если считают каждую часть отдельно и не замечают, что общая область попала в оба подсчёта. Проверьте разбиение: части должны не перекрываться и вместе покрывать фигуру; иначе исключите общую область или переделите фигуру.
Иногда считают, что равную площадь могут иметь только фигуры одинаковой формы. Это смешивает два разных признака: очертания и размер занимаемой части плоскости. Сравните число квадратных единиц или разложите фигуры на равные по площади части: разные формы могут дать одинаковую сумму.
Для изучения площади пригодятся единицы длины, представление о квадрате и его сторонах, а также умение сравнивать и складывать величины. Понимание квадратной единицы станет основой для вывода формул площадей прямоугольника, параллелограмма, треугольника и других фигур. В жизни площадь помогает вычислять размер пола, стен, земельного участка или другой поверхности. В каждом случае выбирают подходящую единицу и следят за тем, чтобы ответ был записан в квадратных единицах.
Почему площадь измеряют именно квадратными единицами?
Площадь описывает размер части плоскости, а не длину линии. Квадрат занимает часть плоскости и поэтому подходит как мерка для сравнения с фигурой. Его площадь принимают за единицу.
Чем площадь отличается от длины?
Длина характеризует протяжённость отрезка или границы и измеряется линейными единицами, например сантиметрами. Площадь характеризует размер поверхности и измеряется квадратными единицами, например квадратными сантиметрами.
Почему при переводе квадратных единиц коэффициент возводят в квадрат?
Квадратная единица зависит от двух измерений: длины и ширины. Если каждую сторону выражают в единицах, отличающихся в 10 раз, число квадратов меняется в 10 × 10 = 100 раз.
Можно ли складывать площади частей, если они перекрываются?
Нельзя складывать их напрямую: общая область будет посчитана дважды. Сначала нужно выделить неперекрывающиеся части или отдельно вычесть площадь перекрытия.
Могут ли фигуры разной формы иметь одинаковую площадь?
Да. Форма и площадь — разные характеристики: очертания фигур могут различаться, а занимаемая ими часть плоскости быть равной. Например, прямоугольник и треугольник могут иметь одинаковую площадь.
123. Понятие площади
