"Геометрия", Погорелов А.В.
Площадь показывает, сколько места фигура занимает на плоскости, и помогает сравнивать фигуры и решать практические задачи. Её измеряют квадратными мерками: например, квадратами со стороной 1 см. Площадь прямоугольника находят умножением длин его соседних сторон, выраженных в одинаковых единицах, а площадь квадрата — умножением стороны на саму себя. Если фигуру разделить на части, площади этих частей можно сложить.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь фигуры — величина, которая показывает, сколько места фигура занимает на плоскости. Чтобы сравнить площади, фигуры покрывают одинаковыми квадратами-мерками и считают их. Если мерки одинаковы, фигура, для которой требуется больше квадратов, имеет большую площадь. Это позволяет сравнивать фигуры, даже если их очертания различаются.
Единица площади — площадь квадрата со стороной, равной единице длины. Например, если сторона такого квадрата равна 1 см, его площадь называют квадратным сантиметром и записывают 1 см². Слово «квадратный» указывает, что единица получена для квадрата, а показатель ² напоминает о двух измерениях: длине и ширине. Единица помогает сообщить не только число, но и масштаб измерения.
Равные фигуры — фигуры, которые можно совместить наложением. При совмещении совпадают все их части, поэтому ни одна фигура не выступает за границы другой. У равных фигур одинаковые площади. Это свойство удобно, когда площадь одной фигуры известна и нужно определить площадь другой, равной ей.
Равновеликие фигуры — фигуры, площади которых равны. Их очертания при этом могут быть совершенно разными: например, прямоугольник и фигура с неровными краями могут занимать одинаковую площадь. Поэтому равновеликость говорит о площади, но не о совпадении формы. Это различие позволяет не путать равенство фигур с равенством их площадей.
Представь, что фигуру нужно покрыть одинаковыми квадратами. Если квадраты расположены без промежутков и не заходят один на другой, каждый из них занимает отдельный участок фигуры. Число таких квадратов показывает, сколько единиц площади в ней содержится. Для фигур с неудобными очертаниями можно использовать более мелкие мерки, чтобы точнее покрыть границы.
Число, которым выражена площадь, зависит от размера выбранной мерки. Чем мельче квадрат, тем больше таких квадратов поместится внутри той же фигуры. Например, квадрат со стороной 1 см содержит 100 квадратов со стороной 1 мм, поэтому 1 см² = 100 мм². Сама фигура при смене единицы не меняется — меняется только число, которым записана её площадь.
Если фигуру разрезать на части, которые не перекрываются и вместе составляют её целиком, площадь всей фигуры равна сумме площадей частей. Причина в том, что каждый участок исходной фигуры принадлежит одной из частей и учитывается ровно один раз. Поэтому для сложной фигуры можно найти площади простых частей и сложить их. Этот способ работает и тогда, когда части имеют разные формы.
Прямоугольник удобно покрыть квадратами со стороной в одну выбранную единицу. Если одна сторона равна a единицам, вдоль неё помещается a квадратов в каждом ряду; если другая сторона равна b единицам, таких рядов будет b. Всего получится a · b квадратов, поэтому площадь прямоугольника равна произведению длин его соседних сторон: S = a · b. Стороны при вычислении должны быть выражены в одной единице длины, а результат записывают в соответствующей квадратной единице.
Подсчёт квадратов в рядах и столбцах объясняет, почему в формуле прямоугольника перемножают длины сторон. Если прямоугольник становится квадратом, его соседние стороны равны одной и той же величине a. Тогда формула принимает вид S = a · a = a². Значит, чтобы найти площадь квадрата, нужно длину его стороны умножить на саму себя. Обратная задача решается извлечением квадратного корня из площади.
| Что рассматриваем | Как находить или выражать |
|---|---|
| Площадь прямоугольника | S = a · b, где a и b — длины соседних сторон в одинаковых единицах |
| Площадь квадрата | S = a², где a — длина стороны |
| Квадратные единицы длины | см² — площадь квадрата со стороной 1 см; м² — площадь квадрата со стороной 1 м |
| Переход от одной квадратной единицы к соседней | 1 см² = 100 мм²; при переходе к более мелкой единице число увеличивается в 100 раз |
Сначала выбери строку, которая соответствует фигуре или единице измерения в задаче. Перед вычислением проверь, что длины сторон выражены в одной единице; ответ запиши в квадратных единицах. При переводе единиц учитывай, что коэффициент для площади получается в квадрате: сантиметр переводят в миллиметры по каждой из двух сторон квадрата.
Найдите площадь прямоугольника со сторонами 6 см и 4 см. Обе стороны уже выражены в сантиметрах, поэтому их можно сразу подставить в формулу прямоугольника. Искомую площадь запишем в квадратных сантиметрах.
Ответ: 24 см². Проверка по смыслу: прямоугольник состоит из 4 рядов по 6 квадратных сантиметровых мерок, всего их 24.
Площадь квадратной плитки равна 49 см². Найдите длину её стороны. Поскольку плитка квадратная, площадь получена умножением стороны на саму себя. Значит, нужно найти такое число, квадрат которого равен 49.
Ответ: 7 см. Проверка: 7 см · 7 см = 49 см², то есть получилась указанная в условии площадь.
Прямоугольную площадку размером 8 м на 5 м разделили на две части прямой линией. Площадь одной части равна 18 м². Найдите площадь второй части. Сначала найдём площадь всей площадки, затем вычтем площадь известной части, потому что две части вместе составляют целую площадку.
Ответ: 22 м². Проверка: 18 м² + 22 м² = 40 м², что совпадает с площадью всей площадки.
Если записать площадь в сантиметрах вместо квадратных сантиметров, линейную величину перепутают с величиной, описывающей поверхность. Так бывает, когда после умножения сторон механически повторяют единицу из условия. Проверь размерность: сантиметры умножаются на сантиметры, поэтому получается см². Для площади всегда указывай квадратную единицу.
Нельзя умножать числовые значения сторон, если они выражены в разных единицах, например 2 м и 30 см. Часто ошибку допускают потому, что значения кажутся готовыми для подстановки в формулу. Сначала переведи их в одинаковые единицы, например 200 см и 30 см, а потом перемножь. В конце проверь, что единица ответа соответствует выбранным единицам сторон.
Равновеликие фигуры не обязаны быть одинаковыми по форме. Путаница появляется из-за слова «равные»: оно звучит похоже, но означает, что фигуры можно совместить наложением. Для проверки сравнивай именно площади, а не очертания: разные фигуры могут иметь одинаковое число квадратных мерок. Если фигуры совмещаются целиком, они равны, а значит, и равновелики.
При сложении площадей частей нельзя забывать проверить, что части вместе составляют исходную фигуру и не перекрываются. Иначе часть поверхности может быть посчитана дважды или вовсе потеряться. Нарисуй мысленную схему разбиения и убедись, что каждый участок относится ровно к одной части. Для проверки сложи площади частей: их сумма должна совпасть с площадью целой фигуры, если она известна.
Чтобы измерять площадь, нужно знать единицы длины и уметь измерять отрезки: именно длины сторон подставляют в формулы. При вычислении площади прямоугольника понадобятся также умножение натуральных чисел и понимание квадратных единиц. Свойство сложения площадей помогает находить площади фигур, которые можно разбить на простые части. Оно пригодится при изучении формул площадей параллелограмма и треугольника, а навык перевода единиц — в задачах на измерения и практических расчётах.
Почему площадь измеряют квадратными единицами?
Единицу площади задаёт квадрат со стороной в одну единицу длины. Например, квадрат со стороной 1 см имеет площадь 1 см². Поэтому площадь записывают в квадратных, а не линейных единицах.
Чем равные фигуры отличаются от равновеликих?
Равные фигуры можно совместить наложением: они совпадают по форме и размеру. У равновеликих фигур одинаковые площади, но форма может быть разной.
Почему стороны прямоугольника перед вычислением площади нужно выразить в одинаковых единицах?
Формула площади перемножает числовые значения длин сторон. Если единицы разные, произведение не даст площадь в одной понятной квадратной единице. Сначала переведи обе длины, например, в сантиметры или метры.
Как найти площадь фигуры, составленной из нескольких частей?
Найди площадь каждой части и сложи результаты. Это верно, если части вместе составляют всю фигуру и не перекрывают друг друга.
Почему при переходе от квадратных сантиметров к квадратным миллиметрам число становится больше?
В одном сантиметре 10 миллиметров, поэтому квадрат со стороной 1 см можно разделить на 10 × 10 = 100 квадратов со стороной 1 мм. Значит, 1 см² = 100 мм², и при записи той же площади в мм² численное значение увеличивается.
§ 14. Площади фигур
