"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Площадь показывает, сколько места фигура занимает на плоскости. Чтобы измерить её, фигуру мысленно покрывают одинаковыми квадратами без промежутков и наложений. Для прямоугольника удобно считать квадраты по рядам: число квадратов в ряду равно длине, а число рядов — ширине. Поэтому площадь находят умножением двух соседних сторон. Результат записывают в квадратных единицах, а перед вычислением длины приводят к одинаковым единицам.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь фигуры — величина, характеризующая, сколько места фигура занимает на плоскости. Если две фигуры можно совместить, не растягивая и не сжимая их, они равны и имеют равные площади. Понятие площади помогает сравнивать фигуры и измерять их внутреннюю часть.
Единица площади — площадь квадрата, сторона которого равна выбранной единице длины. Если длину измеряют в сантиметрах, удобно выбрать квадрат со стороной 1 см. Поэтому квадратные единицы связаны с единицами длины: их обозначения содержат показатель ².
Квадратный сантиметр — площадь квадрата со стороной 1 см; его обозначают см². Значит, запись 7 см² означает площадь, равную площади семи таких квадратов. Эта единица подходит, например, для измерения площади небольших предметов.
Площадь прямоугольника — величина, которую находят умножением длин двух его соседних сторон. Если стороны обозначены a и b, используют формулу S = ab. Такое обозначение позволяет записать правило коротко и применять его к разным прямоугольникам.
Площадь измеряют единичными квадратами, потому что у них заранее известен размер. Если покрыть ими фигуру без промежутков и наложений, каждый квадрат занимает отдельную часть, а их общее число показывает, сколько единиц площади содержится в фигуре. Промежутки оставили бы часть поверхности неизмеренной, а наложения привели бы к повторному счёту одного и того же участка. Поэтому покрытие должно быть сплошным и без перекрытий.
Рассмотрим квадрат, сторона которого равна нескольким единицам длины. Его можно разделить линиями, параллельными сторонам, на маленькие квадраты со стороной в одну единицу. В каждом ряду будет столько маленьких квадратов, сколько единиц укладывается вдоль стороны, и столько же рядов, сколько единиц укладывается вдоль другой стороны. Общее число единичных квадратов показывает площадь большого квадрата.
Прямоугольник тоже удобно разбить на одинаковые квадратные единицы. В одном ряду помещается столько квадратов, сколько единиц длины содержится в одной стороне прямоугольника. Число рядов определяется длиной соседней стороны. Такой способ подсчёта подходит, потому что стороны прямоугольника задают его длину и ширину, а все ряды состоят из одинакового количества квадратов.
Чтобы найти общее число квадратов, нужно число квадратов в одном ряду умножить на количество рядов. Если соседние стороны прямоугольника имеют длины a и b, в ряду будет a единиц, а рядов будет b. Поэтому площадь равна S = ab. Формула выражает подсчёт квадратных единиц и позволяет не пересчитывать каждый квадрат отдельно.
В ответе указывают квадратные единицы, так как перемножаются две длины: например, сантиметры на сантиметры дают квадратные сантиметры. Если длины заданы в разных единицах, их сначала переводят в одну и ту же меру, например в сантиметры. Иначе числа нельзя правильно использовать как количество единиц вдоль сторон. Единицы в ответе выбирают по тем длинам, которые подставили в формулу.
| Что рассматриваем | Как находить или записывать | Пример |
|---|---|---|
| Площадь прямоугольника | Умножить длины соседних сторон: S = ab | 5 см · 3 см = 15 см² |
| Длины соседних сторон | Обозначить a и b; перед вычислением привести к одинаковым единицам | 4 дм = 40 см |
| Единицы площади | Записывать квадратные единицы: см², дм², м² | Площадь измерена в см² |
| Перевод квадратных единиц | Возводить коэффициент перевода длины в квадрат | 1 дм² = 100 см² |
Сначала определите, какие стороны известны и в каких единицах они выражены. Если единицы разные, переведите одну длину, а затем примените формулу. В последнем столбце показано, как связаны вычисления и запись результата.
Задача 1. Найти площадь прямоугольника со сторонами 5 см и 3 см. Стороны уже выражены в одинаковых единицах, поэтому дополнительный перевод не нужен. Подставим их в формулу площади и укажем квадратные сантиметры в ответе.
Ответ: 15 см².
Задача 2. Стороны прямоугольника равны 4 дм и 25 см. Найти площадь в квадратных сантиметрах. Нельзя сразу перемножать числа 4 и 25: они выражают длины в разных единицах. Переведём дециметры в сантиметры, чтобы обе стороны описывали количество сантиметров. После этого используем ту же формулу.
Ответ: 1000 см².
Задача 3. Площадь прямоугольника равна 48 см², одна сторона — 6 см. Найти другую сторону. Формула связывает площадь с произведением двух сторон. Чтобы получить неизвестную сторону, нужно разделить площадь на известную сторону. Единицы тоже проверяем: квадратные сантиметры делим на сантиметры, поэтому получаем сантиметры.
Ответ: 8 см.
Иногда стороны складывают, хотя требуется найти площадь. Так делают, путая её с периметром: для прямоугольника периметр связан с суммой сторон, а площадь — с их произведением. Проверьте, что именно требуется найти, и спросите себя, показывает ли ответ внутреннюю часть фигуры или длину её границы. Для площади применяют S = ab.
Другая ошибка — записать площадь в сантиметрах, а не в квадратных сантиметрах. Это происходит, когда забывают, что умножаются две длины: сантиметры на сантиметры дают см². Проверьте единицу ответа отдельно от вычисления. Если стороны даны в сантиметрах, площадь должна быть выражена в см².
Нельзя без перевода перемножать длины, записанные в разных единицах. Например, 4 дм и 25 см сначала нужно выразить в одинаковых единицах, иначе числа обозначают разные количества мер длины. Перед вычислением сопоставьте обозначения у обеих сторон. После перевода повторно проверьте единицу площади.
В формулу подставляют соседние стороны прямоугольника, а не диагональ. Диагональ соединяет противоположные вершины и не задаёт длину ряда или число рядов квадратных единиц. Ошибку предотвращает проверка того, какие отрезки ограничивают прямоугольник по горизонтали и вертикали. Для S = ab нужны именно эти две смежные стороны.
Для работы с площадью нужны умение измерять отрезки и переводить единицы длины: от этого зависит правильная подстановка сторон. Формула опирается на понятие квадрата и умножение натуральных чисел, потому что площадь можно получить подсчётом квадратных единиц по рядам. Позже тот же подход поможет изучать площади других фигур и решать практические задачи, например оценивать, сколько материала нужно для покрытия поверхности.
Почему площадь прямоугольника находят умножением сторон?
Прямоугольник можно покрыть одинаковыми квадратными единицами. Число квадратов в одном ряду равно длине, а число рядов — ширине, поэтому общее число квадратов находят умножением.
В каких единицах нужно записывать площадь?
В квадратных единицах: например, в см², дм² или м². Единица зависит от того, в каких единицах измерены стороны.
Можно ли умножать стороны, если они даны в разных единицах?
Сначала нужно перевести их в одинаковые единицы. Иначе числа относятся к разным мерам длины, и произведение получится неверным.
Чем площадь отличается от периметра?
Площадь показывает, сколько места занимает фигура внутри границы, а периметр — длину этой границы. Площадь измеряют квадратными единицами, периметр — обычными единицами длины.
Как найти неизвестную сторону прямоугольника, если известны площадь и другая сторона?
Нужно разделить площадь на длину известной стороны. Например, если площадь равна 48 см², а сторона — 6 см, то другая сторона равна 48 : 6 = 8 см.
50. Площадь прямоугольника
