"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Площадь квадрата показывает, сколько места он занимает на плоскости, и измеряется квадратными единицами: например, см² или м². Если сторона квадрата равна a, то его площадь S = a²: квадрат можно мысленно разбить на a рядов по a единичных квадратов. По этой формуле находят площадь, а по известной площади — сторону. Она также помогает понять, почему при увеличении стороны площадь растёт быстрее: в квадрат этого числа раз.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь квадрата — числовая характеристика части плоскости, которую занимает квадрат. Она показывает, сколько места фигура занимает по сравнению с выбранной единицей. Площадь нужна, например, чтобы узнать, сколько плитки потребуется для пола квадратной формы. Чем больше площадь, тем больше квадратных единиц помещается внутри фигуры.
Квадратная единица — единица измерения площади, образованная квадратом со стороной в одну линейную единицу. Если сторона такого квадрата равна 1 см, его площадь равна 1 см². Обозначение с верхней двойкой означает, что речь идёт о квадрате единицы длины. Квадратные единицы позволяют сравнивать площади разных фигур.
Сторона квадрата — один из четырёх равных отрезков, ограничивающих квадрат. Размер квадрата обычно задают длиной стороны и обозначают её буквой a. Зная a, можно определить, сколько единичных квадратов помещается внутри фигуры. Длина стороны измеряется обычными единицами длины: например, сантиметрами или метрами.
Формула площади квадрата — S = a², где S обозначает площадь, а a — длину стороны. Запись a² означает произведение a на a, а не умножение на два. Формула помогает найти площадь по известной стороне. В ней единица длины тоже возводится в квадрат: если a дано в сантиметрах, S получится в квадратных сантиметрах.
Площадь можно измерять числом квадратных единиц, потому что квадратами одинакового размера удобно покрывать поверхность без промежутков и наложений. Один такой квадрат принимают за единицу площади. Сколько единичных квадратов поместилось, столько единиц площади и составляет результат измерения. Если фигура не покрывается целым числом таких квадратов, площадь всё равно можно измерить, учитывая части единиц.
Представим квадрат, разбитый линиями на маленькие квадраты со стороной в одну единицу. Каждый маленький квадрат занимает одну квадратную единицу, поэтому достаточно пересчитать их. Такое разбиение превращает измерение площади в подсчёт одинаковых частей. Если сторона большого квадрата выражена целым числом единиц, линии образуют ровные ряды и столбцы.
Пусть сторона большого квадрата равна a единицам. Вдоль каждой стороны помещается a единичных отрезков, поэтому получается a столбцов и a рядов маленьких квадратов. В каждом ряду находится a квадратных единиц, а рядов тоже a. Всего их a · a, поэтому площадь равна S = a · a = a²; именно так возникает квадрат стороны.
Если известна сторона, для нахождения площади нужно умножить её на саму себя. Например, при стороне 6 см получаем 6 · 6 = 36 см². Если известна площадь, выполняют обратное действие: находят такое положительное число, квадрат которого равен данной площади. Поэтому сторона выражается формулой a = √S; для площади 49 дм² это будет 7 дм.
Увеличение стороны меняет размеры квадрата сразу в двух направлениях — по горизонтали и по вертикали. Если сторону умножить на k, число столбцов и число рядов единичных квадратов увеличатся в k раз каждое. Поэтому общее число квадратов, а вместе с ним и площадь, станет больше в k · k = k² раз. Например, увеличение стороны втрое даёт увеличение площади в девять раз.
| Величина | Обозначение | Связь или формула | Единица измерения |
|---|---|---|---|
| Длина стороны квадрата | a | a = √S | мм, см, дм, м |
| Площадь квадрата | S | S = a² | мм², см², дм², м² |
| Площадь квадрата со стороной 1 единица | 1 квадратная единица | 1 · 1 = 1 | например, 1 см² |
| Сторона квадрата по известной площади | a | a = √S | единица длины |
Сначала определите, какая величина известна: сторона или площадь. Если известна сторона, используйте S = a²; если площадь — a = √S. Проверьте, чтобы единица ответа соответствовала искомой величине: у площади она квадратная, у стороны — обычная.
Задача 1. Найдите площадь квадрата, если его сторона равна 6 см. Нужно выбрать формулу, связывающую сторону и площадь, а затем подставить число вместо a. Поскольку сторона измерена в сантиметрах, площадь следует записать в квадратных сантиметрах.
Ответ: 36 см². Проверка смысла помогает избежать путаницы: площадь должна быть числом квадратных единиц, а не длиной в сантиметрах. Периметр здесь искать не нужно.
Задача 2. Площадь квадрата равна 49 дм². Найдите длину его стороны. Здесь известна площадь, поэтому надо выполнить действие, обратное возведению в квадрат. Искомая длина должна быть положительной.
Ответ: 7 дм. Проверим: 7² = 49, значит, квадрат со стороной 7 дм действительно имеет площадь 49 дм². Отрицательное значение корня не подходит, поскольку длина отрезка не может быть отрицательной.
Задача 3. Сторону квадрата увеличили с 4 см до 12 см. Во сколько раз увеличилась его площадь? Можно вычислить обе площади и сравнить их, либо использовать зависимость площади от стороны. Второй способ короче, если сначала выяснить, во сколько раз изменилась сторона.
Ответ: площадь увеличилась в 9 раз. Проверка двумя способами подтверждает результат. Увеличение стороны в три раза не означает, что площадь тоже увеличивается только втрое.
Иногда площадь записывают в сантиметрах вместо квадратных сантиметров. Так происходит, если перепутать единицу длины с единицей площади. Проверьте себя: сторона измеряется в см, а площадь квадрата со стороной в сантиметрах — в см². В ответе полезно спросить себя, считаются ли длина отрезка или покрывающие фигуру квадраты.
Другая ошибка — вычислять площадь как 4a или 2a. Число 4a получается при сложении четырёх сторон и обозначает периметр, а 2a не является формулой площади квадрата. Для площади нужно узнать, сколько единичных квадратов помещается внутри, поэтому сторону умножают на саму себя. Проверка: в формуле площади должны участвовать две длины, а не сумма сторон.
При поиске стороны по площади можно ошибочно возвести площадь в квадрат. Это происходит, когда забывают, что нужно обратить действие, использованное в формуле S = a². Правильное действие — извлечь квадратный корень: a = √S. Проверить ответ легко: возведите найденную сторону в квадрат и убедитесь, что получилась исходная площадь.
При переводе единиц площади иногда используют коэффициент перевода длины без изменений: например, считают 1 м² = 100 см². Ошибка возникает потому, что метр действительно равен 100 сантиметрам, но в квадратном метре две измеряемые стороны. Поэтому коэффициент нужно возвести в квадрат: 1 м² = 100² см² = 10 000 см². Проверьте перевод, представив квадрат со стороной 1 м: в нём 100 рядов по 100 квадратов со стороной 1 см.
Для работы с формулой нужны понятия площади, квадратной единицы и длины отрезка, а также умение возводить число в квадрат. Периметр тоже полезно отличать от площади: периметр измеряет границу фигуры, площадь — занимаемую часть плоскости. Формула площади квадрата помогает находить площади прямоугольников и составных фигур, которые можно разбить на простые части. Она встречается и в задачах на подобие и масштаб, где сопоставляют размеры фигур и изменение их площадей.
Перевод квадратных единиц связан с переводом единиц длины: коэффициент длины при переходе к площади возводят в квадрат. А формула a = √S связывает площадь с извлечением квадратного корня. Поэтому при решении задач важно следить и за вычислениями, и за единицами.
Почему площадь квадрата равна a², а не 4a?
Площадь считают по числу квадратных единиц, покрывающих фигуру. При стороне a получается a рядов по a единичных квадратов, поэтому S = a · a = a². Выражение 4a находят периметр — сумму четырёх сторон.
Почему единица площади записывается с квадратом?
Единичную площадь задаёт квадрат, у которого каждая сторона равна одной единице длины. Например, квадрат со стороной 1 см имеет площадь 1 см². Показатель ² напоминает, что измеряется поверхность, а не длина.
Как найти сторону квадрата, если известна его площадь?
Нужно извлечь квадратный корень из площади: a = √S. Например, если площадь равна 49 дм², то сторона равна √49 = 7 дм. Выбирают положительное значение, потому что длина не бывает отрицательной.
Во сколько раз изменится площадь, если сторону увеличить в 2 раза?
Площадь увеличится в 2² = 4 раза. Например, если сторона была a, новая сторона равна 2a, а новая площадь — (2a)² = 4a². Значит, площадь меняется не вдвое, а вчетверо.
Как правильно переводить квадратные метры в квадратные сантиметры?
Сначала переведите метр в сантиметры, а затем возведите коэффициент перевода в квадрат: 1 м = 100 см, значит, 1 м² = 100² см² = 10 000 см². Квадрат появляется потому, что единица площади включает две стороны.
49. Площадь квадрата
