48. Понятие площади многоугольника

Определения и обозначения

Площадь характеризует, какую часть плоскости занимает фигура. Для многоугольника это неотрицательное число: обычная фигура занимает некоторую область, а отрицательного размера у этой области быть не может. Площадь помогает сравнивать фигуры и находить размеры составных фигур. Её обычно обозначают буквой S.

Единица измерения площади — квадратная единица, то есть площадь квадрата, сторона которого равна единице длины. Например, квадрат со стороной 1 см имеет площадь 1 см², или один квадратный сантиметр. Так связь единиц длины и площади становится наглядной: длина стороны задаётся в сантиметрах, а площадь квадрата — в квадратных сантиметрах.

Равные многоугольники — это многоугольники, которые можно совместить наложением: их стороны и вершины совпадут. Такие фигуры занимают одну и ту же часть плоскости, поэтому площади равных многоугольников равны. Это правило позволяет сравнить площади, даже если фигуры расположены по-разному.

Площадь многоугольника — величина, обладающая тремя основными свойствами: она неотрицательна, у равных многоугольников одинакова, а при разбиении фигуры на неперекрывающиеся многоугольники площадь целого равна сумме площадей частей. Кроме того, площадь квадрата с единичной стороной принимают за 1. Эти свойства служат основой для вычисления площадей разных фигур.

Как это устроено

Чтобы измерять площадь, сначала выбирают единицу. Если за неё принять площадь квадрата со стороной 1 см, это один квадратный сантиметр. Выбор не случаен: длины удобно сравнивать с единичным отрезком, а плоские области — с единичным квадратом. При переходе от сантиметра к другой единице длины меняется и соответствующая квадратная единица площади.

Представим фигуру, покрытую одинаковыми квадратами без промежутков и наложений. Если целиком поместились, например, 12 единичных квадратов, площадь равна 12 квадратным единицам. У многоугольника края могут проходить не по сторонам такой сетки, поэтому посчитать только целые квадраты бывает недостаточно. Тогда фигуру делят на части, площади которых можно определить, и складывают результаты.

Равные многоугольники совпадают при наложении. Перемещение фигуры меняет её положение, но не меняет ни форму, ни занимаемую область: ни часть плоскости не исчезает, ни новая не добавляется. Поэтому площадь одной фигуры равна площади другой. Это свойство полезно, когда равные фигуры нарисованы в разных местах или повернуты по-разному.

Если внутри многоугольника провести отрезок и разделить его на две части, каждая точка исходной области окажется в одной из частей или на их общей границе. При этом внутренние области частей не должны перекрываться. Значит, при сложении их площадей ни один участок не посчитается дважды и ни один не потеряется. Так площадь целого выражается суммой площадей частей; при разбиении на несколько частей правило действует так же.

Площадь неотрицательна, потому что она измеряет количество занимаемой области, а не направление движения или положение фигуры. У обычного многоугольника есть внутренняя область, поэтому его площадь больше нуля; нулевой результат возможен лишь у вырожденной фигуры, сплющенной в линию или точку. Это не то же самое, что длина: длина относится к отрезку и измеряется единицами длины, а площадь относится к части плоскости и измеряется квадратными единицами.

Основные свойства площади многоугольника

Сначала определите, какое свойство подходит к задаче: сравнение равных фигур, разбиение или выбор единицы. При сложении проверьте, что части покрывают всё целое и не перекрываются. В последней колонке приведены подсказки для выбора действия.

Разбор задач

Задача 1. Два равных многоугольника расположены по-разному. Требуется сравнить их площади и обосновать ответ. Положение на плоскости не влияет на равенство фигур: одну можно переместить или повернуть, чтобы наложить на другую.

1. По условию многоугольники равны, то есть совпадут при наложении.
2. При наложении их области полностью совпадут, поэтому они занимают одинаковую часть плоскости.
3. По свойству равных многоугольников запишем S₁ = S₂; вычисления не нужны.

Ответ: площади равны.

Задача 2. Многоугольник разделён отрезком на два неперекрывающихся многоугольника. Их площади равны 8 см² и 5 см². Найдите площадь исходной фигуры. Нужно убедиться, что две части вместе составляют целую фигуру, а затем применить сложение площадей.

1. Обозначим площадь исходного многоугольника через S.
2. Части не перекрываются и покрывают всё целое, значит, S равна сумме их площадей.
3. Вычислим: S = 8 см² + 5 см² = 13 см².

Ответ: 13 см².

Задача 3. Фигуру разделили на три неперекрывающиеся части. Площадь всей фигуры равна 20 см², а площади двух частей — 6 см² и 9 см². Найдите площадь третьей части. Если сложить известные площади и искомую, получится площадь целого, поэтому неизвестную можно выразить вычитанием.

1. Обозначим площадь неизвестной части через x.
2. По свойству сложения площадей запишем 20 см² = 6 см² + 9 см² + x.
3. Сложим известные значения: 6 + 9 = 15. Тогда x = 20 − 15 = 5 см².

Ответ: 5 см². Проверка: 6 см² + 9 см² + 5 см² = 20 см², то есть площади частей дают площадь целого.

Типичные ошибки

Если сложить площади перекрывающихся частей, общая область окажется учтена дважды. Так делают, когда видят несколько частей, но не проверяют, пересекаются ли они. Перед сложением отметьте их общие участки; если пересечение есть, нужно учесть его отдельно, а не считать части неперекрывающимися.

Равная площадь не означает, что многоугольники равны или совпадают. Это путают, потому что слово «равны» связывают с одинаковыми фигурами. Проверяйте, о чём говорится: совпадение при наложении гарантирует одинаковую площадь, но одно лишь равенство площадей не гарантирует совпадения фигур.

Нельзя записывать площадь в сантиметрах или метрах: это единицы длины. Ошибка возникает, когда к числу приписывают знакомую единицу, не учитывая, что измеряется область. Проверьте величину: для площади нужен квадратный знак, например 12 см², а для длины — см.

Не складывайте площади частей, которые не составляют исходный многоугольник целиком. Иногда одна часть пропущена или за границы фигуры ошибочно включена лишняя область. Перед применением свойства проверьте, что части вместе покрывают всё целое и не выходят за его границы; только тогда их площади дают площадь исходной фигуры.

Связь с другими темами

Для работы с площадью нужно уметь узнавать многоугольники, называть их стороны и вершины, а также понимать, что значит равенство геометрических фигур. Эти знания помогают определить, какую фигуру измеряют и можно ли применить свойство равных многоугольников. Позже площадь прямоугольника, параллелограмма, треугольника и других фигур будут находить по формулам. Разбиение на части и сложение площадей пригодятся для сложных фигур, которые нельзя сразу измерить одной формулой.

Что запомнить

• Площадь характеризует часть плоскости, занимаемую фигурой.
• Площадь многоугольника неотрицательна.
• Равные многоугольники имеют равные площади.
• Площадь фигуры равна сумме площадей частей, на которые она разбита.
• Площадь единичного квадрата принимают за единицу площади.
• Площадь выражают в квадратных единицах.