§ 1. Площадь многоугольника

Определения и обозначения

Площадь многоугольника — величина, которая показывает, сколько места многоугольник занимает на плоскости. Обычно площадь обозначают буквой S. Это понятие нужно, чтобы сравнивать фигуры и измерять их размер не по длине сторон, а по занимаемой поверхности.

Равные многоугольники — это многоугольники, которые можно совместить наложением. При совмещении их границы и внутренние области совпадают, поэтому один занимает ровно столько же места, сколько другой. Значит, площади равных многоугольников равны.

Единица площади — площадь квадрата, сторона которого равна единице длины. Если сторона квадрата равна 1 см, его площадь равна 1 см²; если равна 1 м — площадь составляет 1 м². Эта единица нужна, чтобы измерять площадь одинаковым способом для разных фигур.

Площадь многоугольника, составленного из частей, равна сумме площадей этих частей, если части не перекрываются. Например, внутренность фигуры можно разделить линиями на несколько областей, не накладывающихся друг на друга. Такое свойство позволяет находить площадь сложной фигуры по площадям её частей.

Как это устроено

Чтобы сравнить две фигуры, можно наложить одну на другую. Если многоугольники полностью совпали, их границы и внутренние области занимают одно и то же место, поэтому площадь одной фигуры равна площади другой. Если же часть одной фигуры выступает за границы другой, они не равны; для сравнения их площадей понадобится измерение или вычисление.

Единицу площади выбирают по размеру фигуры и по тому, насколько точно нужно выполнить измерение. Большую поверхность удобнее измерять квадратными метрами, а маленькую — квадратными сантиметрами или миллиметрами. В одном квадратном сантиметре помещается 100 квадратов со стороной 1 мм, поэтому площадь 1 см² равна 100 мм². При переходе к меньшей единице численное значение увеличивается: одна и та же поверхность содержит больше маленьких квадратов.

Сложенная из частей фигура занимает области, которые можно рассматривать по отдельности. Если части не перекрываются, ни одна точка не входит одновременно в две части, поэтому при сложении их площадей ничего не учитывается дважды. Отсюда следует: площадь целой фигуры равна сумме площадей её неперекрывающихся частей.

Разбиение помогает работать со сложной фигурой, для которой трудно сразу определить площадь. Её делят на более простые многоугольники, площади которых можно найти или сравнить с известными. Затем складывают площади частей, проверив, что вместе они составляют всю фигуру и не перекрываются. Иногда части удобно подобрать так, чтобы их можно было совместить с другими фигурами.

Площадь и длина описывают разные свойства: длина относится к отрезку, а площадь — к части плоскости. Поэтому единицы площади получают из единиц длины: квадрат со стороной 1 см имеет площадь 1 см × 1 см, то есть 1 см². Запись квадратной единицы напоминает, что измеряется поверхность, а не одна сторона. Выбор единицы меняет численное значение результата, но не саму площадь фигуры.

Основные свойства площади многоугольника

Сначала определите, какая ситуация описана в задаче: равенство фигур, разбиение или выбор единицы. Затем используйте соответствующее свойство из таблицы. Если фигура разделена на части, обязательно проверьте, что они не перекрываются.

Разбор задач

1. Сравнение равных многоугольников

Условие. Два многоугольника совмещаются наложением. Нужно сравнить их площади. Здесь не требуется измерять стороны или выбирать единицу: достаточно использовать признак равенства фигур.

1. По условию многоугольники при наложении совпадают.
2. Значит, их внутренние области занимают одно и то же место на плоскости.
3. Следовательно, площади этих многоугольников равны.

Ответ: площади равны.

2. Площадь фигуры из трёх частей

Условие. Многоугольник разбит на три неперекрывающиеся части площадью 4 см², 7 см² и 5 см². Нужно найти площадь целого. Поскольку части не накладываются и вместе составляют фигуру, применяем сложение площадей.

1. Записываем площади частей: 4 см², 7 см² и 5 см².
2. Складываем их: 4 + 7 + 5 = 16.
3. Сохраняем единицу измерения площади — квадратный сантиметр.

Ответ: 16 см².

3. Сложная фигура и сопоставление частей

Условие. Сложную фигуру разделили на прямоугольники и треугольники. Площади некоторых частей неизвестны, но некоторые фигуры можно совместить наложением. Нужно найти площадь всей фигуры по известным площадям. Удобно сначала использовать равенство частей, а затем сложить площади всех частей.

1. Перечисляем части фигуры и отмечаем те, площади которых уже известны.
2. Неизвестную площадь определяем по равной ей части: совмещающиеся фигуры имеют одинаковые площади.
3. Складываем площади всех частей, убедившись, что они не перекрываются и покрывают всю фигуру.

Ответ: площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей; числовой результат можно получить после подстановки известных значений.

Типичные ошибки

Ошибка: записывать площадь в обычных единицах длины, например в сантиметрах. Так происходит, когда площадь путают с длиной стороны; площадь измеряет поверхность, поэтому её записывают в квадратных единицах, например в см². Проверьте себя: если в ответе нужна площадь, единица должна быть квадратной.

Ошибка: складывать площади частей, которые перекрываются. В общей области такая сумма посчитает одни и те же точки дважды, поэтому свойство сложения здесь неприменимо. Перед сложением проверьте, что части не накладываются и вместе составляют целую фигуру.

Ошибка: считать, что равные площади означают одинаковую форму. Путают равенство площадей с равенством фигур, хотя наложением должны совпадать только равные фигуры. Проверка простая: одинаковая площадь сама по себе не доказывает, что многоугольники можно совместить.

Ошибка: считать, что при смене единицы меняется площадь фигуры. Меняется только число: в меньших единицах ту же поверхность измеряют большим количеством квадратов. Для проверки вспомните, что 1 см² = 100 мм²: площадь одна и та же, а численные значения разные.

Связь с другими темами

Для работы с площадями нужно знать, что такое многоугольник, равные фигуры и единицы измерения длины. Эти понятия помогают распознавать фигуры, сравнивать их наложением и выбирать подходящую единицу площади. Площадь и её свойства станут основой для изучения формул площадей прямоугольника, параллелограмма, треугольника и других фигур. Разбиение на части пригодится и тогда, когда сложную фигуру можно представить как несколько знакомых.

Что запомнить

• Равные многоугольники имеют равные площади.
• Площадь выражают в квадратных единицах.
• Площадь единичного квадрата равна единице площади.
• Площадь целого равна сумме площадей его неперекрывающихся частей.
• Сложную фигуру удобно разбивать на более простые.
• Площадь фигуры не зависит от того, в каких единицах её измеряют.