"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Симметрия помогает увидеть, как части фигуры расположены относительно прямой или точки, и строить её зеркальное отражение. При осевой симметрии заданная прямая делит пополам и под прямым углом отрезок между соответствующими точками. При центральной симметрии заданная точка служит серединой такого отрезка. Эти признаки позволяют строить симметричные точки, проверять фигуры и находить их оси или центры.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Две точки называют симметричными относительно прямой, если эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку, который их соединяет. Серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка и образует с ним прямой угол. Поэтому он одинаково удалён от обеих точек и помогает точно определить положение одной относительно другой.
Фигура обладает осевой симметрией, если каждой её точке соответствует симметричная относительно одной прямой точка, тоже принадлежащая фигуре. Эту прямую называют осью симметрии. Определение позволяет проверить, совпадёт ли фигура со своим отражением, и найти прямые, относительно которых её части расположены одинаково.
Две точки симметричны относительно точки, если эта точка является серединой отрезка между ними. Её называют центром симметрии пары точек. Значит, обе точки лежат на одной прямой по разные стороны от центра и удалены от него на одно и то же расстояние.
Фигура обладает центральной симметрией, если каждой её точке соответствует симметричная относительно одной точки точка, которая тоже принадлежит фигуре. Эту точку называют центром симметрии фигуры. Такое определение помогает выяснить, сохраняется ли фигура при отражении относительно точки, то есть при переносе каждой точки на противоположную сторону центра.
Чтобы построить точку A′, симметричную точке A относительно прямой l, проведи из A перпендикуляр к l. Пусть он пересекает прямую в точке H; отложи на продолжении перпендикуляра отрезок HA′, равный HA. Перпендикуляр задаёт направление, в котором точки окажутся по разные стороны от l, а равные отрезки обеспечивают одинаковое расстояние до неё. Поэтому l проходит через середину AA′ и под прямым углом к нему.
Это же построение объясняет свойство оси для любой пары симметричных точек. Если соединить такую пару отрезком, то расстояния от его концов до оси равны, а кратчайшие расстояния до прямой измеряются перпендикулярами. Равные прямоугольные треугольники по разные стороны от оси показывают, что она проходит через середину отрезка. Поскольку эти перпендикуляры лежат на одной прямой, ось перпендикулярна соединяющему точки отрезку.
Для построения точки B′, симметричной B относительно центра O, сначала проведи прямую BO. Затем продолжи её за O и отложи отрезок OB′, равный OB. Точки окажутся по разные стороны от центра, потому что прямая задаёт их общее направление, а равные расстояния помещают их на одинаковом удалении. Если B совпадает с O, образ тоже совпадает с O.
Центр симметрии является серединой отрезка между точкой и её образом по самому правилу построения: расстояния от него до концов равны. При отражении точка переходит через центр на противоположную сторону, поэтому центр оказывается посередине. Сам центр не перемещается: его расстояние до него равно нулю, и противоположной точкой для него служит он сам.
Чтобы проверить фигуру, отражай её точки относительно предполагаемой оси или центра и сопоставляй каждый образ с исходной фигурой. Если все образы принадлежат фигуре, она симметрична относительно заданной прямой или точки. Проверка только одной пары недостаточна: эта пара может оказаться подходящей случайно, тогда как другие точки не имеют соответствующих им точек в фигуре. Для многоугольника можно проверить вершины и проследить, что отражённые стороны также совпадают со сторонами фигуры.
| Свойство | Осевая симметрия | Центральная симметрия |
|---|---|---|
| Что задаёт симметрию | Прямая — ось симметрии | Точка — центр симметрии |
| Как расположены симметричные точки | Ось — серединный перпендикуляр к отрезку между ними | Центр — середина отрезка между ними |
| Какие точки остаются на месте | Точки, лежащие на оси | Центр симметрии |
| Как проверить симметрию фигуры | Отразить точки относительно оси и проверить, что образы принадлежат фигуре | Отразить точки относительно центра и проверить, что образы принадлежат фигуре |
| Примеры фигур с такой симметрией | Равнобедренный треугольник, прямоугольник | Параллелограмм, прямоугольник |
Сначала смотри, что задано: прямая или точка, — это сразу подсказывает вид симметрии. Затем проверь положение пары точек: при осевой симметрии нужен прямой угол и деление пополам, при центральной — только деление пополам центром. Последняя строка даёт примеры, но наличие симметрии в конкретной фигуре всё равно проверяют по всем её точкам.
Задача 1. Построить точку, симметричную точке A относительно прямой l. Нужно, чтобы l была серединным перпендикуляром к AA′, поэтому сначала определим перпендикулярное расстояние от A до прямой. Не откладывай длину по произвольному направлению: тогда условие симметрии не выполнится.
Ответ: A′, построенная на перпендикуляре по другую сторону l на расстоянии HA от прямой. Равенство AH и HA′ означает, что H — середина отрезка, а перпендикулярность подтверждает свойство оси. Следовательно, l является серединным перпендикуляром к AA′.
Задача 2. Построить точку, симметричную B относительно O, и найти расстояние между B и её образом, если OB = 3 см. По определению O должен быть серединой BB′, поэтому точку B′ нужно расположить на продолжении BO за центр. После построения весь отрезок состоит из двух равных частей по 3 см.
Ответ: точка B′ находится за O на расстоянии 3 см от него, а BB′ = 6 см. Удваиваем расстояние OB, потому что центр стоит между точками. Если бы B′ лежала на той же стороне от O, центр не был бы серединой отрезка.
Задача 3. Определить, имеет ли прямоугольник ось и центр симметрии, и указать их. Отражение относительно подходящей прямой должно переводить каждую вершину и сторону прямоугольника в совпадающую с ней часть фигуры. Для центральной симметрии нужно найти точку, которая делит пополам отрезки между соответствующими вершинами.
Ответ: у прямоугольника две оси симметрии через середины противоположных сторон и центр симметрии в точке пересечения диагоналей. Оси работают и тогда, когда прямоугольник не является квадратом. У квадрата дополнительно есть оси по диагоналям, но для обычного прямоугольника это не так.
При осевой симметрии иногда откладывают от точки до оси равное расстояние по наклонной линии. Так делают, если помнят о равных расстояниях, но забывают, что расстояние до прямой измеряется перпендикуляром. Проверь построение: соединяющий точки отрезок должен быть перпендикулярен оси, а ось должна проходить через его середину.
При центральной симметрии центр могут принять за конец отрезка, поставив образ на расстоянии OB от O в том же направлении, что и B. Это путает середину отрезка с его концом. Для проверки убедись, что исходная точка и образ лежат по разные стороны от центра, а расстояния до него равны.
Ось и центр симметрии — не одно и то же: ось является прямой, а центр — точкой. Путаница возникает из-за того, что оба объекта задают симметрию, но работают по-разному. Перед построением назови, что дано, и проверь форму условия: прямая должна быть серединным перпендикуляром, а точка — серединой отрезка.
Найденный отрезок между двумя точками фигуры сам по себе не доказывает, что симметрична вся фигура. За признак можно принять удачно расположенную пару, не проверив остальные точки. Отрази все точки фигуры и проверь, что каждый образ тоже принадлежит ей; для многоугольника проследи также за соответствием сторон.
Для построений нужны знания о перпендикулярных прямых, середине отрезка и проведении перпендикуляра. Если эти понятия знакомы, можно последовательно построить отражённую точку и проверить свойство оси или центра. Симметрия помогает распознавать свойства фигур и строить их изображения, потому что показывает соответствие частей и точек. Позже она пригодится при изучении преобразований фигур, а также при создании и анализе симметричных орнаментов.
Как построить точку, симметричную данной относительно прямой?
Опусти из данной точки перпендикуляр на прямую. Продолжи его за прямую и отложи такое же расстояние от неё. Полученная точка будет симметричной: прямая проходит через середину отрезка между точками и перпендикулярна ему.
Как построить точку, симметричную данной относительно центра?
Проведи прямую через данную точку и центр симметрии. На продолжении за центр отложи расстояние, равное расстоянию от исходной точки до центра. Центр окажется серединой отрезка между точками.
Чем осевая симметрия отличается от центральной?
При осевой симметрии задана прямая, которая служит серединным перпендикуляром к отрезку между симметричными точками. При центральной симметрии задана точка, являющаяся серединой такого отрезка. На оси и в центре соответственно остаются на месте точки, лежащие на оси и сам центр.
Может ли у фигуры быть несколько осей симметрии?
Да, у фигуры может быть несколько осей, а у некоторых фигур их бесконечно много. Например, у квадрата четыре оси симметрии: две проходят через середины противоположных сторон, а две — по диагоналям. Каждая такая прямая при отражении оставляет фигуру неизменной.
Как проверить, имеет ли фигура центр симметрии?
Предположи, где может находиться центр, и для каждой точки фигуры найди точку на противоположной стороне от него на таком же расстоянии. Если все полученные точки тоже принадлежат фигуре, она имеет центр симметрии. Проверить нужно всю фигуру, а не только одну пару точек.
47. Осевая и центральная симметрии
