"Геометрия", Смирнова И.М., Смирнов В.А.
Площадь показывает, сколько места многоугольник занимает на плоскости. Чтобы её измерить, выбирают единицу — площадь квадрата с известной стороной — и сравнивают с ней площадь фигуры. Площадь целого многоугольника равна сумме площадей его неперекрывающихся частей, а равные фигуры имеют одинаковые площади. Для прямоугольника площадь находят умножением длин соседних сторон, для квадрата — умножением стороны самой на себя. Поэтому площади записывают в квадратных единицах: например, в см² или м².
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь многоугольника — числовая мера того, сколько места фигура занимает на плоскости. Она помогает сравнивать фигуры по размеру поверхности, даже если их контуры выглядят по-разному. Площадь записывают числом вместе с единицей измерения.
Единичный квадрат — квадрат со стороной, равной выбранной единице длины. Его площадь принимают за единицу измерения площадей: например, квадрат со стороной 1 см задаёт единицу 1 см². С такой мерой можно сравнивать площади других фигур.
Равновеликие многоугольники — многоугольники, площади которых равны. Они могут иметь разные очертания и не обязаны накладываться друг на друга. Это понятие нужно, чтобы сравнивать фигуры именно по площади, а не по форме.
Квадратный сантиметр и квадратный метр — единицы площади, соответствующие квадратам со сторонами 1 см и 1 м. Их обозначают см² и м². Эти единицы позволяют указывать, в каких именно квадратных мерках выражена площадь.
Чтобы измерить площадь, сначала выбирают единицу — площадь единичного квадрата. Затем выясняют, сколько таких мерок составляет фигура, или используют известные способы вычисления. Квадратные единицы подходят потому, что сама площадь описывает двумерную фигуру, а не расстояние вдоль одной линии.
Разбиение многоугольника на части не меняет его площадь: части вместе занимают ровно ту же область, что и исходная фигура. Если части не перекрываются, их площади можно сложить и получить площадь целого. Это правило удобно, когда фигуру проще измерить после разбиения на более простые фигуры.
Если два многоугольника равны, их можно наложить так, чтобы все соответствующие части совпали. Значит, они занимают одну и ту же область и имеют равные площади. Обратное неверно: равные площади не требуют совпадения контуров, поэтому равновеликие фигуры могут быть разной формы.
У прямоугольника со сторонами a и b площадь равна S = ab, если обе длины измерены в одинаковых единицах. Это можно понять по квадратным меркам: вдоль одной стороны укладывается a мерок, вдоль другой — b, а всего получается произведение a на b. Если стороны заданы в сантиметрах, результат выражается в квадратных сантиметрах.
Квадрат — частный случай прямоугольника, у которого обе соседние стороны имеют длину a. Поэтому в формуле прямоугольника вместо a и b подставляют одинаковые значения: S = a · a = a². Возведение стороны в квадрат означает умножение длины на саму себя, а не просто запись площади в сантиметрах.
В таблице собраны обозначения, формулы и подходящие единицы. При вычислениях сначала проверьте, что длины сторон выражены в одинаковых единицах, а затем укажите квадратную единицу площади.
Строка о переводе показывает, как связаны две единицы: поскольку 1 м = 100 см, квадрат со стороной 1 м содержит 100 · 100 квадратов со стороной 1 см.
| Фигура | Обозначения | Формула площади | Единицы измерения |
|---|---|---|---|
| Прямоугольник | Стороны a и b | S = ab | см², м² и другие квадратные единицы |
| Квадрат | Сторона a | S = a² | см², м² и другие квадратные единицы |
| Связь квадратных единиц | 1 м = 100 см | 1 м² = 10 000 см² | При переводе м² в см² умножают на 10 000 |
Известны две соседние стороны, поэтому можно применить формулу площади прямоугольника S = ab. Обе длины уже выражены в сантиметрах, значит, переводить единицы не нужно. Единица результата будет квадратной.
Ответ: площадь прямоугольника равна 24 см². Проверка смысла проста: в прямоугольнике помещаются 6 столбцов и 4 ряда квадратов со стороной 1 см, всего 24 таких квадрата.
Для квадрата известна площадь, а требуется длина стороны. Используем формулу S = a² и найдём такое неотрицательное число, квадрат которого равен 49. Отрицательное значение не подходит, потому что длина стороны не может быть отрицательной.
Ответ: сторона квадрата равна 7 см. Проверим: 7² = 49, значит, квадрат со стороной 7 см действительно имеет площадь 49 см².
Прямоугольник разделён на два прямоугольника: 12 см × 3 см и 12 см × 5 см. Сначала найдём площадь каждого из них, затем сложим результаты. Сравнение с площадью исходной фигуры проверит, что разбиение сохранило общую площадь.
Полученные площади равны: 36 + 60 = 96 см². Значит, сумма площадей частей совпадает с площадью целого; это соответствует тому, что 3 см + 5 см = 8 см.
Ошибка: записывать площадь в линейных единицах, например в сантиметрах. Так происходит, когда ученик переносит единицу, данную для сторон, прямо в ответ. Проверьте себя: у площади должна стоять квадратная единица — см², м² и так далее.
Ошибка: при переводе квадратных метров в квадратные сантиметры умножать только на 100. Число 100 относится к переводу одной стороны, а площадь зависит от двух сторон квадрата. Проверьте перевод отдельно по каждой стороне: 100 · 100 = 10 000, значит, 1 м² = 10 000 см².
Ошибка: считать, что любые равновеликие многоугольники равны. Равенство площадей сравнивает занимаемое место, а равенство фигур требует совпадения формы и размеров при наложении. Проверяйте, что именно сравнивают в условии: площадь или сами фигуры.
Ошибка: складывать стороны прямоугольника вместо умножения. Сумма сторон помогает найти длину границы, а площадь показывает размер внутренней части фигуры. Проверьте формулу: для прямоугольника нужно умножить длины соседних сторон, S = ab, и записать ответ в квадратных единицах.
Для работы с площадями нужно уметь измерять отрезки и переводить единицы длины: именно длины сторон подставляют в формулы. Свойство сложения площадей пригодится, когда фигуру разбивают на части, а затем — при изучении площадей треугольника и других многоугольников. Формулы позволяют находить размеры поверхности в геометрических и прикладных задачах, например при расчёте покрытия пола или стены.
Почему площадь измеряют квадратными, а не линейными единицами?
Площадь показывает размер части плоскости, а линейные единицы измеряют только длину. Единицей площади служит квадрат со стороной в одну единицу длины, например 1 см².
Могут ли разные по форме многоугольники иметь одинаковую площадь?
Да. Например, прямоугольники 2 × 6 см и 3 × 4 см имеют площадь 12 см², хотя их формы различаются. Такие фигуры называют равновеликими.
Как найти площадь прямоугольника, если известны его стороны?
Нужно умножить длины двух соседних сторон: S = ab. Если стороны измерены в сантиметрах, площадь получится в квадратных сантиметрах.
Почему в формуле площади квадрата длину стороны возводят в квадрат?
Квадрат — это прямоугольник, у которого соседние стороны равны. Поэтому формула S = ab превращается в S = a · a = a².
Как правильно перевести квадратные метры в квадратные сантиметры?
Один метр равен 100 сантиметрам, поэтому квадрат со стороной 1 м содержит 100 × 100 квадратов со стороной 1 см. Значит, 1 м² = 10 000 см².
§ 61. Площадь многоугольника
