102. Площадь многоугольника

Определения и обозначения

Площадь многоугольника — величина, которая показывает, сколько места фигура занимает на плоскости. Она не описывает форму многоугольника, а позволяет измерить его размер и сравнить его с другими фигурами. Благодаря площади можно решать практические задачи: например, определять, сколько материала нужно для покрытия поверхности.

Единица площади — площадь квадрата, сторона которого равна единице длины. Если длину измеряют в сантиметрах, площадь выражают в квадратных сантиметрах, см². При переходе к другой единице меняется числовое значение: например, один квадратный метр содержит 10 000 квадратных сантиметров, потому что в квадрате со стороной 1 м помещается 100 рядов по 100 квадратов 1 см².

Равные многоугольники — многоугольники, которые можно совместить наложением. У них совпадают соответствующие стороны и углы, поэтому они занимают одинаковую часть плоскости и имеют равные площади. Это свойство позволяет переносить известную площадь одной фигуры на равную ей фигуру.

Равновеликие многоугольники — многоугольники с одинаковыми площадями. При этом фигуры не обязательно можно совместить: их форма и длины сторон могут отличаться. Понятие нужно, чтобы сравнивать именно площади, а не внешний вид фигур.

Как это устроено

Площадь задают через основные свойства, а не только через формулы для отдельных фигур. Площади равных многоугольников должны быть равны, потому что при наложении они занимают одно и то же место. За единицу принимают площадь квадрата единичной стороны, чтобы сравнение площадей опиралось на общий образец, как измерение длины опирается на единицу длины.

Если многоугольник составлен из нескольких частей, не имеющих общих внутренних участков, его площадь равна сумме площадей этих частей. Причина в том, что каждая часть занимает свою область плоскости и ни одна область не считается дважды. Поэтому для сложной фигуры можно отдельно измерить удобные части, а затем сложить их площади.

Многоугольник можно разбить диагоналями на треугольники: у выпуклого многоугольника достаточно провести диагонали из одной вершины. Площадь каждого полученного треугольника находят отдельно, например по формуле S = ½ah, где a — основание, а h — высота к нему. Сумма площадей треугольников равна площади исходной фигуры, поскольку они вместе без пропусков и наложений покрывают её.

Выбранное разбиение не меняет площадь, хотя количество и форма частей могут оказаться разными. В любом корректном разбиении части составляют всю исходную фигуру и не перекрывают друг друга, поэтому их площади в сумме дают одну и ту же величину. Это позволяет выбирать тот способ, при котором площади частей проще вычислить.

Чтобы найти площадь сложного многоугольника, используют известные формулы для простых фигур, из которых он составлен. Например, многоугольник можно разделить на треугольники и прямоугольники, вычислить площади по формулам и сложить. Иногда удобнее найти площадь целой простой фигуры, а затем вычесть площадь лишней части, если исходная фигура получена удалением этой части.

Понятия и свойства площади многоугольника

Сначала выбери понятие, которое подходит к задаче: например, сложение частей или сравнение равных фигур. Затем проверь, что разбиение полное, части не перекрываются, а единицы измерения совпадают. Таблица помогает выбрать способ вычисления, но численные площади частей всё равно нужно находить по формулам или условиям задачи.

Разбор задач

Задача 1. Многоугольник разбит на три треугольника площадями 4 см², 7 см² и 9 см². Найдём площадь всей фигуры. Треугольники не перекрываются и вместе образуют многоугольник, поэтому применяется сложение площадей частей.

1. Записываем площади частей: 4 см², 7 см² и 9 см².
2. Складываем: 4 + 7 + 9 = 20. Получаем площадь всего многоугольника.

Ответ: 20 см². Единицу измерения сохраняем, потому что площади всех частей заданы в квадратных сантиметрах. Если бы хотя бы одна площадь была выражена в других единицах, её сначала пришлось бы перевести.

Задача 2. Многоугольник разбит диагоналями из одной вершины на треугольники с известными основаниями и высотами. Нужно найти площадь многоугольника. Данные об основаниях и высотах подставляем в формулу площади треугольника S = ½ah, а полученные значения складываем, поскольку треугольники составляют всю фигуру.

1. Для каждого треугольника вычисляем произведение основания на соответствующую высоту и делим его пополам.
2. Записываем площади всех треугольников в одинаковых единицах и складываем их.

Такой порядок важен: высота должна быть проведена именно к выбранному основанию, иначе формула даст неверный результат. В условии конкретные значения оснований и высот не указаны, поэтому численное значение площади определить нельзя. Итог выражается суммой площадей найденных треугольников.

Задача 3. Два многоугольника разбиты на треугольники и прямоугольники. Докажем, что их площади равны, если соответствующие части имеют одинаковые площади. Внешний вид многоугольников сравнивать не требуется: достаточно просуммировать площади их частей.

1. Обозначим площади частей первого многоугольника и сопоставим каждую из них с соответствующей частью второго.
2. По условию площади в каждой паре равны, поэтому равны и суммы площадей всех частей каждого многоугольника.

Поскольку разбиения покрывают фигуры без пропусков и наложений, сумма частей в каждом случае равна площади исходного многоугольника. Следовательно, площади двух многоугольников равны. При доказательстве нужно указать обе опоры: равенство площадей соответствующих частей и свойство сложения площадей.

Типичные ошибки

Первая ошибка — складывать площади частей, которые перекрываются. Тогда общая область учитывается несколько раз, поэтому сумма оказывается больше площади фигуры. Проверь, что внутренние области частей не пересекаются; если перекрытие есть, его площадь нужно вычесть или изменить разбиение.

Вторая ошибка — считать равновеликие многоугольники равными. Одинаковая площадь говорит только о равном размере занимаемой области, но не о совпадении сторон и углов. Для проверки спроси себя, можно ли совместить фигуры наложением: если это не следует из условия, равенство не доказано.

Третья ошибка — складывать или сравнивать числа, выраженные в разных единицах. Числа вроде 2 м² и 3000 см² нельзя сравнивать напрямую, потому что единица у них разная. Переведи все площади к одной единице; для проверки используй соотношение 1 м² = 10 000 см².

Четвёртая ошибка — пропустить часть многоугольника при разбиении или посчитать одну область дважды. Такое случается, если ориентироваться только на отдельные линии и не проверить покрытие фигуры целиком. Проследи, что каждая точка исходного многоугольника относится к одной из частей и что между частями нет наложений.

Связь с другими темами

Для вычисления площади многоугольника нужны формулы площадей треугольника, прямоугольника и других уже изученных фигур. Разбиение на треугольники превращает задачу о сложной фигуре в несколько знакомых вычислений. Этот приём пригодится и в задачах на доказательство равновеликости: площади частей сравнивают, а затем складывают. Так понятие площади связывает измерение геометрических фигур с равенством и разбиением фигур.

Что запомнить

• Площадь измеряется в квадратных единицах.
• Равные многоугольники имеют равные площади.
• Площадь объединения неперекрывающихся частей равна сумме их площадей.
• Многоугольник можно разбить на треугольники и сложить их площади.
• Равновеликие многоугольники имеют одинаковую площадь, но могут различаться по форме.
• При вычислениях все площади должны быть выражены в одинаковых единицах.