"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
Площадь показывает, сколько места занимает многоугольник на плоскости. Её измеряют квадратными единицами, а вычисляют по известным размерам фигуры: сторонам прямоугольника, основанию и высоте параллелограмма или треугольника, основаниям и высоте трапеции. Главная идея темы — находить площадь простой фигуры по формуле и использовать сложение площадей, чтобы справляться с более сложными фигурами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь многоугольника — величина, которая характеризует, сколько места он занимает на плоскости. Площадь обычно обозначают буквой S и находят, сравнивая фигуру с выбранной единицей площади. Это позволяет не только описать размер фигуры, но и вычислять его по известным длинам.
Равновеликие многоугольники — это многоугольники с равными площадями. Их стороны и очертания могут быть разными: равенство площади не означает равенство формы. Это понятие помогает сравнивать фигуры по занимаемому месту, даже если они выглядят непохоже.
Единица площади — квадрат, сторона которого равна выбранной единице длины. Например, квадрат со стороной 1 см имеет площадь 1 см², а со стороной 1 м — 1 м². Поэтому при переходе от единиц длины к квадратным единицам коэффициент пересчёта нужно возвести в квадрат.
Основание многоугольника — выбранная сторона, а высота к нему — перпендикулярное расстояние до противоположной стороны или прямой, на которой она лежит. Перпендикулярность означает, что высота образует с основанием прямой угол. Основание и высоту выбирают вместе: именно эти два размера входят в формулы параллелограмма, треугольника и трапеции.
Площадь прямоугольника можно понять через подсчёт одинаковых квадратов. Если на одной стороне укладывается m единичных отрезков, а на другой — n, то прямоугольник разбивается на m рядов по n квадратов. Всего получается mn квадратов, поэтому при длинах сторон a и b площадь равна S = ab. Подсчёт объясняет, почему площадь зависит от обеих сторон и почему умножаются именно их длины.
Свойства площади позволяют сравнивать фигуры и разбирать их на части. Если многоугольники равны, их можно совместить движением без изменения размеров, поэтому они занимают одинаковую площадь. Если же фигура составлена из нескольких неперекрывающихся частей, каждая часть занимает свою долю плоскости, и общая площадь равна сумме площадей этих частей. Это свойство полезно, когда для целой фигуры нет готовой формулы.
Формулу параллелограмма получают разрезанием и перестановкой части фигуры. Если отрезать прямоугольный треугольник у одного края и перенести к другому, получится прямоугольник: его площадь не изменится, потому что кусок только переместили. У прямоугольника одна сторона равна основанию параллелограмма a, а другая — высоте h. Значит, площадь параллелограмма равна S = ah.
Треугольник связан с параллелограммом тем, что два равных треугольника можно сложить в параллелограмм. У получившегося параллелограмма основание a и высота h, поэтому его площадь равна ah. На каждый из двух одинаковых треугольников приходится половина этой площади, откуда S = ah/2. Деление на 2 появляется потому, что рассматривается одна из двух равных частей.
Чтобы получить формулу трапеции, возьмём две одинаковые трапеции и сложим их так, чтобы они образовали параллелограмм. Основание этого параллелограмма состоит из двух оснований трапеции, то есть равно a + b, а высота остаётся h. Его площадь равна (a + b)h, но в нём две трапеции одинаковой площади. Поэтому площадь одной трапеции равна S = (a + b)h/2.
| Фигура | Формула площади | Что обозначают величины |
|---|---|---|
| Прямоугольник | S = ab | a и b — длины сторон |
| Параллелограмм | S = ah | a — основание, h — высота к нему |
| Треугольник | S = ah/2 | a — основание, h — высота к нему |
| Трапеция | S = (a + b)h/2 | a и b — основания, h — высота |
Сначала определите, какая перед вами фигура, затем выберите соответствующую строку и проверьте, что известны все нужные величины. Для фигур с высотой убедитесь, что она перпендикулярна основанию, а после вычислений укажите квадратные единицы.
Задача 1. Найти площадь прямоугольника со сторонами 8 см и 5 см. Поскольку известны обе стороны прямоугольника, можно сразу применить формулу S = ab. В ответе площадь нужно выразить в квадратных сантиметрах.
Ответ: 40 см². Число получилось умножением длин двух сторон, а единицы длины при умножении дают квадратные единицы.
Задача 2. Найти площадь параллелограмма с основанием 12 см и высотой 7 см. Для этой фигуры важны основание и перпендикулярная ему высота, а не любая боковая сторона. В условии дана именно высота к указанному основанию, поэтому значения можно подставить в формулу S = ah.
Ответ: 84 см². Перед вычислением полезно проверить, что высота относится именно к основанию 12 см; иначе в формулу попали бы несогласованные размеры.
Задача 3. Трапеция с основаниями 9 см и 15 см и высотой 8 см разделена диагональю на два треугольника. Найти площадь каждого треугольника. Сначала найдём площадь всей трапеции, а затем вычислим площади треугольников по их основаниям и общей высоте. Основания треугольников равны основаниям трапеции, поскольку каждое параллельно противоположной стороне.
Ответ: площади треугольников равны 36 см² и 60 см². Проверка сложением подтверждает, что разбиение не потеряло и не добавило площадь.
В формулу площади параллелограмма иногда подставляют боковую сторону вместо высоты. Это происходит потому, что обе величины выглядят как расстояния между вершинами, но боковая сторона обычно наклонена, а высота перпендикулярна основанию. Проверьте чертёж: у высоты должен быть прямой угол с основанием. Если прямого угла нет, данная длина не является высотой к этому основанию.
При вычислении площади треугольника могут забыть деление на 2 и посчитать его как параллелограмм. Ошибка возникает из-за одинаковых основания и высоты в формулах, хотя треугольник занимает только половину параллелограмма с такими размерами. Проверьте, составляют ли два равных треугольника параллелограмм. Если да, площадь одного треугольника должна быть вдвое меньше его площади.
В формуле площади трапеции иногда складывают основания и умножают на высоту, но не делят на 2. Так получают площадь параллелограмма, который составляют две одинаковые трапеции, а не одной трапеции. Чтобы проверить себя, вспомните, что формула использует среднее арифметическое оснований: (a + b)/2. Если деления на 2 нет, площадь завышена вдвое.
Ещё одна ошибка — записать площадь в сантиметрах, а не в квадратных сантиметрах. Сантиметры измеряют длину, а площадь получается при умножении двух длин, поэтому единицы тоже перемножаются: см · см = см². Проверьте не только вычисления, но и подпись результата. Если в ответе указано см, м или км без квадрата, единицу нужно исправить.
Для работы с площадями нужно уметь находить площадь прямоугольника и пользоваться свойством перпендикулярных прямых: именно перпендикуляр задаёт высоту. Понятие площади опирается на разбиение фигуры и сложение площадей частей, поэтому сложные формы можно сводить к простым. Эти формулы пригодятся в задачах на подобие треугольников, где соотносят размеры фигур, и при вычислении площадей более сложных многоугольников.
Что называют площадью многоугольника?
Площадь — величина, которая характеризует, сколько места занимает многоугольник на плоскости. Её обозначают буквой S и измеряют квадратными единицами.
Почему равновеликие многоугольники не обязаны иметь одинаковую форму?
Равновеликими называют многоугольники с равными площадями. Площадь показывает размер фигуры, но не описывает её форму, поэтому две разные по виду фигуры могут занимать одинаковую площадь.
Какую высоту нужно брать для вычисления площади параллелограмма?
Нужно взять высоту, проведённую к выбранному основанию. Это перпендикулярное расстояние от основания до противоположной стороны или прямой, на которой она лежит.
Почему в формуле площади треугольника появляется деление на 2?
Два равных треугольника можно составить в параллелограмм. Площадь каждого из них поэтому вдвое меньше площади параллелограмма с теми же основанием и высотой.
В каких единицах измеряют площадь и как их переводить?
Площадь измеряют квадратными единицами: например, см², м² или км². При переводе единиц длины коэффициент нужно возвести в квадрат: например, 1 м = 100 см, значит, 1 м² = 10 000 см².
§22. Площадь многоугольника
