5.1. Площадь многоугольника

Определения и обозначения

Площадь многоугольника — численная характеристика того, сколько места занимает фигура на плоскости. Её выражают положительным числом с выбранной единицей площади, например 12 см². Это число помогает сравнивать фигуры и рассчитывать, сколько материала потребуется, чтобы покрыть их поверхность.

Единица площади — площадь квадрата, сторона которого равна одной единице длины. Если длина измеряется в сантиметрах, квадрат со стороной 1 см задаёт квадратный сантиметр, который записывают см². Также используют мм², дм², м² и другие квадратные единицы; выбор зависит от размера измеряемой фигуры.

Равновеликие многоугольники — многоугольники, площади которых равны. Их очертания и размеры отдельных сторон могут отличаться: для равновеликости важно только совпадение площадей. Это понятие нужно, чтобы сравнивать фигуры по занимаемому месту, не требуя совпадения их формы.

Составной многоугольник — фигура, площадь которой находят, разбивая её на более простые части. Например, сложный контур можно разделить на прямоугольники, площади которых легко вычислить. Такой подход позволяет решать задачи, для которых не подходит одна готовая формула.

Как это устроено

Площадь измеряют сравнением с выбранной единицей: выясняют, сколько единичных квадратов помещается внутри фигуры. Поэтому численное значение зависит от единицы измерения: одна и та же площадь будет выражена разными числами в см² и м². Сама фигура от записи не меняется — меняется только способ измерения, как при переходе от метров к сантиметрам для длины.

Равные многоугольники можно совместить движением, например поворотом или переносом, так, чтобы их части совпали. Такое движение не растягивает и не сжимает фигуру, поэтому внутри обеих границ помещается одинаковое количество единичных квадратов. Отсюда следует, что площади равных многоугольников совпадают, хотя их положение на плоскости может быть разным.

При разбиении фигуры на части нужно, чтобы они не перекрывались и вместе составляли исходный многоугольник. Тогда каждый участок внутри фигуры принадлежит ровно одной части, поэтому его площадь учитывается один раз. Значит, площадь целого равна сумме площадей всех частей; общая граница между ними площади не добавляет.

У прямоугольника со сторонами a и b в каждом ряду помещается b единичных квадратов, а число рядов равно a, если стороны измерены в единицах длины. Чтобы узнать общее количество квадратов, нужно число квадратов в ряду умножить на число рядов. Поэтому площадь прямоугольника равна S = ab; например, при целых сторонах это видно по подсчёту клеток, а правило действует и для дробных длин.

Если у сложной фигуры есть части с известными формулами, её разбивают на них и складывают найденные площади. Иногда удобнее мысленно достроить фигуру до прямоугольника или другого знакомого многоугольника, вычислить площадь целого и вычесть добавленную область. В обоих случаях сначала проверьте, что части точно покрывают нужную область и не учитывают одно место несколько раз.

Основные сведения о площади многоугольника

Сначала определите, какой объект описан в условии и какие длины известны. Затем выберите подходящее правило: умножение для прямоугольника, сложение при разбиении или вычитание при дополнении. В ответе обязательно укажите квадратную единицу, согласованную с единицами длин.

Разбор задач

Площадь прямоугольника

Условие. Найдите площадь прямоугольника со сторонами 6 см и 4 см. Даны длины двух соседних сторон, поэтому не нужно разбивать фигуру на части. Результат запишем в квадратных сантиметрах, так как длины указаны в сантиметрах.

1. Вспоминаем правило: площадь прямоугольника равна произведению длин соседних сторон.
2. Подставляем данные: S = 6 · 4 = 24.
3. Записываем квадратную единицу: обе длины измерены в сантиметрах, поэтому площадь — в см².

Ответ: 24 см².

Сложение площадей частей

Условие. Многоугольник разбит на два прямоугольника со сторонами 3 см и 5 см, а также 2 см и 4 см. Найдите площадь многоугольника. Предполагается, что части не перекрываются и полностью составляют исходную фигуру. Значит, сначала вычислим площади прямоугольников отдельно.

1. Находим площадь первой части: 3 · 5 = 15 см².
2. Находим площадь второй части: 2 · 4 = 8 см².
3. Складываем, поскольку прямоугольники не перекрываются: 15 + 8 = 23 см².

Ответ: площадь многоугольника равна 23 см². Сложение здесь подходит потому, что каждый участок фигуры учтён ровно в одной части. Если бы части пересекались, общая область вошла бы в сумму дважды.

Вычитание вырезанной части

Условие. Из прямоугольника размером 10 см на 8 см вырезали прямоугольник размером 3 см на 2 см. Найдите площадь оставшейся фигуры. Удобно считать исходный большой прямоугольник целиком, а затем убрать площадь вырезанного участка. Такое вычитание учитывает только ту часть, которая осталась.

1. Находим площадь исходного прямоугольника: 10 · 8 = 80 см².
2. Находим площадь вырезанного прямоугольника: 3 · 2 = 6 см².
3. Вычитаем площадь вырезанной части: 80 − 6 = 74 см².

Ответ: площадь оставшейся фигуры равна 74 см². Проверка здравого смысла: после вырезания площадь должна стать меньше исходных 80 см². Полученное значение удовлетворяет этому условию.

Типичные ошибки

Площадь иногда записывают в сантиметрах вместо квадратных сантиметров. Так происходит, когда путают площадь с длиной или периметром; площадь показывает размер внутренней области. Проверьте единицу ответа: если стороны прямоугольника заданы в сантиметрах, площадь должна быть в см².

При вычислении площади прямоугольника могут сложить длины сторон вместо умножения. Сумма отвечает на другой вопрос: она даёт длину обхода по двум сторонам, а для площади нужно посчитать, сколько квадратов покрывает фигуру. Сверьтесь с формулой S = ab, а не с формулой периметра.

При разбиении фигуры общую границу частей могут случайно посчитать как отдельную область. Ошибка возникает, если принять линию на чертеже за часть с площадью, хотя у линии без ширины площадь равна нулю. Проверка простая: мысленно закрасьте внутренние области — линия раздела не добавляет нового закрашенного участка.

Нельзя складывать площади частей, которые перекрываются: общая область тогда учитывается дважды. Такое случается, если разбиение выполнено неаккуратно или части выбраны с пересечением. Перед сложением проверьте, что части не накладываются; если пересечение есть, его площадь нужно учесть отдельно и вычесть один раз.

Связь с другими темами

Для работы с площадями нужно уверенно знать единицы длины, правила умножения величин и формулу площади прямоугольника. Эти знания помогают выбрать единицы и выполнить вычисления без смешения длины с площадью. Понятие площади применяется дальше при изучении треугольника, параллелограмма и трапеции.

Сложение площадей частей используют не только в задачах о многоугольниках, но и при расчётах для фигур со сложным контуром. Разбиение помогает свести задачу к знакомым формулам, а вычитание — найти площадь после вырезания или при наличии отверстия. Подобные способы встречаются в практических расчётах площади пола, участка или поверхности детали.

Что запомнить

• Площадь — численная характеристика размера фигуры.
• Площадь выражают в квадратных единицах.
• Равные многоугольники имеют равные площади.
• Площадь фигуры равна сумме площадей её неперекрывающихся частей.
• Площадь прямоугольника со сторонами a и b равна ab.
• Площадь сложной фигуры можно найти разбиением или вычитанием лишней части.