100. О подобии произвольных фигур

Определения и обозначения

Подобные фигуры — фигуры, точкам которых поставлено в соответствие друг с другом так, что расстояния между любыми соответствующими парами точек относятся с одним и тем же постоянным отношением. Это определение позволяет сравнивать всю фигуру целиком, а не только некоторые её элементы. Оно пригодится, когда нужно установить, изменились ли размеры фигуры равномерно.

Соответствующие точки — точки двух фигур, которые сопоставлены друг другу по принятому правилу: каждой точке первой фигуры соответствует точка второй, и наоборот. При таком сопоставлении учитывают все точки обеих фигур, а не только вершины или несколько удобных точек. Иначе можно не заметить, что какая-то часть фигур изменена по-другому.

Коэффициент подобия — постоянное отношение расстояний между соответствующими точками. Если первой рассматривают фигуру F₁, а второй — F₂, то коэффициент k равен расстоянию в F₂, делённому на соответствующее расстояние в F₁. Поэтому при обратном порядке фигур коэффициент будет равен 1/k.

Равные фигуры — фигуры, у которых соответствующие расстояния совпадают. Они являются частным случаем подобных фигур: коэффициент подобия равен 1. Это помогает отличать простое совпадение размеров от подобия с увеличением или уменьшением.

Как это устроено

У многоугольников часто сравнивают соответствующие стороны, но для произвольной фигуры такой подход не всегда применим: у неё может не быть сторон и вершин. Поэтому идею подобия строят на расстояниях между точками. Если точкам одной фигуры сопоставить точки другой и проверить взаимные расстояния, можно сравнить фигуры любой формы.

Для подобия нужен единый коэффициент, потому что оно описывает равномерное изменение размеров. Если расстояние между одной парой точек увеличилось вдвое, а между другой — втрое, фигура не изменилась одинаково во всех направлениях. Значит, нельзя назвать одно число, которое описывает переход от одной фигуры к другой. Такое условие и отделяет подобие от случайного совпадения отдельных измерений.

Когда соответствующие расстояния относятся как k, каждое из них во второй фигуре равно исходному расстоянию, умноженному на k. Поэтому сохраняются отношения любых двух соответствующих расстояний: общий множитель сокращается. Например, если один отрезок в первой фигуре в два раза длиннее другого, то такое же соотношение будет у соответствующих отрезков второй фигуры.

Связь подобия с равенством видна из значения коэффициента. При k = 1 расстояния между соответствующими точками не меняются, поэтому фигуры равны. Если k больше 1, расстояния увеличиваются, а если 0 < k < 1 — уменьшаются. В обоих случаях один и тот же множитель действует на всю фигуру, а не на отдельные её части.

Определение подходит фигурам любой формы, поскольку в нём нет требования перечислять стороны, углы или вершины. Достаточно задать соответствие точек и проверить расстояния между всеми соответствующими парами. Поэтому это общее понятие включает в себя подобие многоугольников, но не ограничивается ими. Для практической проверки по конечному набору измерений можно подтвердить подобие лишь тогда, когда условие для всех точек известно из правила или доказательства.

Сходство и различие равных и подобных фигур

Сначала проверьте, что в обеих фигурах задано соответствие точек, затем сравните отношения расстояний. Если для всех пар получается 1, фигуры равны; если получается другое постоянное число, они подобны, но не равны.

Порядок фигур в отношении важен: при переходе от первой фигуры ко второй коэффициент может быть, например, 2, а при обратном переходе — ½. Это не меняет подобия, а только направление сравнения.

Разбор задач

Задача 1. Даны две фигуры и соответствие их точек. Все расстояния между соответствующими парами точек второй фигуры вдвое больше расстояний первой. Определить, подобны ли фигуры, и указать коэффициент. Здесь условие сразу относится ко всем парам, поэтому достаточно выделить общий множитель и проверить порядок фигур.

1. Обозначим расстояние между парой точек первой фигуры через d₁, а соответствующее расстояние второй — через d₂.
2. По условию для любой такой пары d₂ = 2d₁. Значит, отношение d₂/d₁ всегда равно 2.
3. Поскольку один коэффициент выполняется для всех соответствующих пар, по определению фигуры подобны. Первая фигура меньше второй в два раза по всем расстояниям.

Ответ: фигуры подобны, коэффициент при переходе от первой ко второй равен 2. Если записать переход в обратном порядке, коэффициент будет ½.

Задача 2. Для двух фигур даны расстояния между несколькими соответствующими парами точек: в первой фигуре 3 см и 5 см, во второй — 6 см и 10 см. Проверить, могут ли фигуры быть подобными по этим данным. Нужно сравнить не сами длины, а отношения соответствующих расстояний и помнить, что по двум измерениям нельзя автоматически проверить все точки.

1. Для первой пары отношение расстояния второй фигуры к расстоянию первой равно 6/3 = 2.
2. Для второй пары оно равно 10/5 = 2. Значит, обе проверенные пары согласуются с коэффициентом 2.
3. Эти данные не противоречат подобию, но подтверждают только равенство отношений у двух выбранных пар. Чтобы сделать вывод о подобных произвольных фигурах, требуется условие о всех соответствующих парах или доказательство, что общий коэффициент действует для них.

Ответ: по указанным измерениям фигуры могут быть подобными с коэффициентом 2, но одних этих измерений недостаточно, чтобы доказать подобие целиком.

Задача 3. Для двух произвольных фигур задано соответствие точек и правило изменения расстояний: расстояния между первой и второй соответствующими парами равны 4 см и 8 см, а между третьей парой — 9 см и 27 см. Обосновать подобие или опровергнуть его. Даже если несколько пар показывают один множитель, достаточно найти одну пару, которая ему не подчиняется.

1. Для первых двух пар отношение расстояния второй фигуры к расстоянию первой равно 8/4 = 2.
2. Для третьей пары отношение равно 27/9 = 3. Оно отличается от полученного ранее значения.
3. Единого коэффициента для всех соответствующих пар нет. Следовательно, условие подобия нарушено, и никакое совпадение других отдельных расстояний этого не исправит.

Ответ: фигуры не подобны: для третьей пары расстояний общий коэффициент 2 не выполняется.

Типичные ошибки

Считать фигуры подобными лишь потому, что они выглядят одинаково или несколько выбранных расстояний относятся одинаково, — недостаточное основание. Такую ошибку допускают, когда принимают примеры измерений за проверку всего условия. Проверьте, установлено ли одно отношение для всех соответствующих пар точек. Если известно только несколько измерений, вывод о произвольных фигурах пока не доказан.

Подобие иногда путают с равенством и считают, что размеры обязательно должны совпадать. На самом деле подобная фигура может быть увеличена или уменьшена, если все расстояния изменены одинаково. Для самопроверки найдите коэффициент: при значении 1 фигуры равны, при другом положительном значении они могут быть подобными, но не равными.

При вычислении коэффициента можно поменять местами первую и вторую фигуры, но оставить прежнее отношение. Это происходит, когда забывают, что числитель и знаменатель задают направление сравнения. Поделите расстояние второй фигуры на расстояние первой, если именно так назван коэффициент. При обратном порядке результат должен стать обратным числом.

Ещё одна ошибка — применять определение только к многоугольникам, потому что у них удобно сравнивать стороны. Однако произвольная фигура может не иметь выделенных сторон или вершин. Проверьте, формулируете ли вы условие через расстояния между точками: именно оно применимо независимо от формы фигуры. Стороны многоугольника — лишь частный случай таких расстояний.

Связь с другими темами

Для работы с подобием нужно уметь находить расстояние между точками, понимать, что такое соответствие, и знать, когда фигуры равны. Эти понятия помогают правильно сопоставить фигуры и выбрать порядок в отношении для вычисления коэффициента. Далее подобие произвольных фигур лежит в основе изучения подобия многоугольников и треугольников. Оно также используется в задачах на масштаб и пропорциональные длины, где коэффициент показывает, во сколько раз изменились размеры.

Что запомнить

• Подобие определяется соответствием точек двух фигур.
• Расстояния между любыми соответствующими парами точек должны иметь один коэффициент.
• Коэффициент подобия зависит от порядка фигур в отношении.
• При подобии все соответствующие расстояния изменяются в одинаковое число раз.
• Равные фигуры являются частным случаем подобных с коэффициентом 1.
• Для проверки подобия произвольных фигур недостаточно сравнить лишь несколько выбранных расстояний.