65. О подобии произвольных фигур

Определения и обозначения

Подобные фигуры — фигуры, для которых можно установить соответствие точек так, чтобы все расстояния между соответствующими точками относились друг к другу с одним и тем же положительным числом. Иными словами, не требуется, чтобы фигуры были многоугольниками или имели заметные углы: нужно сравнивать расстояния. Это определение позволяет говорить о сходстве формы для самых разных фигур.

Соответствующие точки — точки двух фигур, поставленные в соответствие при подобии. Например, если точке A первой фигуры соответствует точка A′ второй, то пара A и A′ считается одной парой соответствующих точек. Такое соответствие необходимо, чтобы понимать, какие именно расстояния сравнивать.

Коэффициент подобия — положительное число, равное отношению расстояния между двумя точками одной фигуры к расстоянию между соответствующими точками другой. Обозначим его буквой k; если переходим от первой фигуры ко второй, удобно делить расстояние во второй на расстояние в первой. Коэффициент показывает, во сколько раз меняются размеры, и задаёт общий масштаб сравнения.

Как это устроено

У многоугольников иногда достаточно сравнить углы и стороны, но у произвольных фигур такой способ может не подойти: у них может не быть вершин и сторон. Поэтому сходство формы выражают через расстояния между точками. Если соответствующие расстояния меняются одинаково, сохраняются пропорции частей фигуры, а значит, и её форма.

Подобие можно представить как увеличение или уменьшение фигуры, после которого её переместили или повернули. Перемещение и поворот не меняют расстояний между точками, поэтому не мешают сравнению. Масштабирование меняет каждое расстояние одинаково: например, при увеличении в 3 раза расстояние 2 см становится 6 см, а расстояние 5 см — 15 см.

Пусть коэффициент при переходе от первой фигуры ко второй равен k. Тогда расстояние во второй фигуре получается умножением соответствующего расстояния первой фигуры на k. Если идти обратно, нужно разделить на k, поэтому коэффициент обратного перехода равен 1/k. Направление перехода важно: увеличение и обратное уменьшение дают разные коэффициенты.

При подобии сохраняются форма и взаимное расположение соответствующих частей, хотя сами размеры могут быть разными. Например, одна фигура может быть вдвое больше другой, и тогда все соответствующие расстояния отличаются в два раза. Если же размеры не меняются, коэффициент равен 1: это случай равных фигур, которые также являются подобными.

Чтобы проверить подобие, сначала указывают, какая точка одной фигуры соответствует каждой точке другой. Затем сравнивают расстояния для пар соответствующих точек и находят их отношения в одном направлении. Подобие подтверждено, только если один и тот же положительный коэффициент подходит для любой пары, а не только для нескольких удобных примеров.

Что сохраняется при подобии произвольных фигур

Сначала найдите в таблице соответствие точек, затем проверьте, каким образом связаны расстояния. Коэффициент всегда следует понимать с указанием направления перехода. Таблица помогает отличить сохраняющуюся форму от изменяющегося размера.

Разбор задач

Задача 1

На прямой отмечены точки A, B, C и соответствующие им A′, B′, C′. Известно, что AB = 3, BC = 5, A′B′ = 6, B′C′ = 10. Нужно определить, согласуются ли данные с подобием, и найти коэффициент перехода от первой фигуры ко второй. Сравним отношения расстояний во второй и первой фигурах.

1. Для пары AB и A′B′ получаем 6/3 = 2. Значит, на этом отрезке переход соответствует увеличению в 2 раза.
2. Для пары BC и B′C′ получаем 10/5 = 2. Отношение совпало с первым, поэтому данные об этих отрезках согласуются с коэффициентом 2.
3. Чтобы доказать подобие всей фигуры, нужно убедиться, что коэффициент 2 связывает расстояния для всех пар соответствующих точек, в том числе расстояния AC и A′C′. Одних двух сравнений для произвольной фигуры недостаточно, если об остальных расстояниях ничего не известно.

Ответ: данные для указанных отрезков согласуются с коэффициентом 2; для подтверждения подобия всей фигуры нужно проверить остальные пары.

Задача 2

Два квадрата имеют стороны 4 см и 10 см. Нужно объяснить, подобны ли они, и найти коэффициент при переходе от меньшего квадрата к большему. Сопоставим вершины квадратов в одинаковом порядке, чтобы равным сторонам соответствовали равные стороны другого квадрата.

1. Отношение сторон большего квадрата к сторонам меньшего равно 10/4 = 2,5. Это возможный коэффициент перехода от меньшего квадрата к большему.
2. У квадратов одинаковая форма: каждый имеет четыре равных стороны и прямые углы. При выбранном соответствии все расстояния между точками тоже увеличиваются в 2,5 раза: квадрат можно получить масштабированием меньшего, а затем, если нужно, перемещением.

Ответ: квадраты подобны, коэффициент перехода от меньшего к большему равен 2,5.

Задача 3

Для соответствующих точек двух фигур указаны несколько расстояний: в первой фигуре 2, 5 и 7 см, во второй — 6, 15 и 21 см. Нужно понять, подтверждают ли числа подобие, и найти коэффициент перехода от первой фигуры ко второй. Сначала проверим каждую из указанных пар, а затем отделим вывод о них от вывода о фигурах целиком.

1. Для первого расстояния отношение равно 6/2 = 3, для второго — 15/5 = 3. Для третьей пары оно также равно 21/7 = 3.
2. Все приведённые отношения одинаковы и положительны, следовательно, указанные расстояния согласуются с коэффициентом 3. Но для подобия произвольных фигур это условие должно выполняться для всех пар соответствующих точек.
3. Если значения относятся только к нескольким выбранным парам, они позволяют подтвердить единый масштаб лишь для этих расстояний. Если же известно, что тот же коэффициент связывает расстояния между любыми соответствующими точками, подобие подтверждено.

Ответ: для указанных расстояний коэффициент равен 3; сами по себе эти данные не доказывают подобие фигур целиком.

Типичные ошибки

Принимать видимое сходство за доказательство. Фигуры могут казаться похожими на рисунке, но рисунок не показывает точные расстояния. Такую ошибку допускают, потому что глаз замечает общую форму, а не все соотношения. Проверьте себя: указано ли соответствие точек и доказан ли единый коэффициент для расстояний?

Проверять только одну пару отрезков. Совпавшее отношение верно лишь для выбранной пары и не гарантирует, что остальные расстояния изменились так же. Часто одного вычисления достаточно для знакомых фигур, но не для произвольных. Спросите себя, проверены ли все пары или есть ли основание утверждать, что общий масштаб действует для каждой из них.

Перепутать направление перехода. Если при переходе от первой фигуры ко второй расстояния умножают на k, в обратную сторону их умножают на 1/k. Путаница возникает, когда коэффициент находят как отношение длин, не уточнив, какая фигура стоит в числителе. Перед вычислением запишите направление перехода и только потом составьте дробь.

Считать, что подобные фигуры обязательно равны. Подобие допускает увеличение и уменьшение, поэтому размеры могут отличаться. Ошибка появляется из-за смешения одинаковой формы и одинаковой величины. Проверьте коэффициент: равенство соответствует k = 1, а при другом положительном значении фигуры могут быть подобны, но не равны.

Связь с другими темами

Чтобы работать с подобием, нужно уметь сравнивать длины отрезков и находить их отношения: именно так вычисляют коэффициент. Знакомый частный случай — подобие треугольников, где можно сопоставлять стороны и углы. Более общее понятие помогает рассматривать масштабирование разных фигур и пригодится при изучении площадей подобных фигур.

Что запомнить

• Подобие описывает одинаковую форму при возможном изменении размера.
• Соответствие точек должно быть задано.
• Все соответствующие расстояния изменяются в одно и то же число раз.
• Коэффициент подобия положителен.
• При обратном переходе коэффициент обращается.
• Равные фигуры подобны с коэффициентом 1.