64. Практические приложения подобия треугольников

Определения и обозначения

Косвенное измерение — определение длины или расстояния по результатам измерений доступных отрезков и геометрическим соотношениям. Иными словами, нужный отрезок не обязательно мерить линейкой непосредственно. Этот способ полезен, когда объект находится далеко или к нему нельзя подойти.

Метод теней — способ найти высоту предмета, сравнив его тень с тенью предмета известной высоты. При одинаковом освещении предметы и тени образуют подобные треугольники. Поэтому метод позволяет вычислить высоту по доступным измерениям.

Метод зеркала — способ определить высоту предмета по подобию треугольников, образованных предметом, его отражением и наблюдателем. Небольшое зеркало кладут на землю так, чтобы в нём была видна верхушка предмета. Измерив расстояния на земле и высоту глаз, можно найти высоту объекта.

Недоступное расстояние — расстояние, которое нельзя измерить непосредственно, но можно найти с помощью построений и измеряемых отрезков. Для этого на доступном месте создают треугольник, подобный тому, в котором находится искомый отрезок. Затем используют пропорциональность соответствующих сторон.

Как это устроено

Подобие позволяет заменить прямое измерение расчётом, потому что у подобных треугольников соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Если известны некоторые стороны одного треугольника и соответствующие стороны другого, можно найти неизвестную. Сначала необходимо доказать или обосновать подобие, иначе пропорция может оказаться неверной. Так измерения нескольких доступных отрезков дают сведения о недоступном объекте.

При методе теней выбирают предмет известной высоты и одновременно измеряют его тень и тень нужного предмета. Солнечные лучи практически параллельны, поэтому одинаково направленные лучи образуют равные углы с землёй. Вместе с прямыми углами у оснований это даёт подобные прямоугольные треугольники. Если высота известного предмета равна h, его тень — a, а тень дерева — b, то высота дерева H находится из пропорции H/a = h/b.

В методе зеркала луч света идёт от верхушки предмета к зеркалу и отражается в глаз наблюдателя. Возникают два треугольника: один связан с предметом и землёй, другой — с наблюдателем и землёй. У них равны прямые углы при основаниях, а углы при зеркале равны из-за закона отражения. Значит, треугольники подобны; высота предмета H и высота глаз h относятся так же, как расстояния от зеркала до наблюдателя d и до предмета s: H/s = h/d.

Чтобы найти недоступное расстояние, на своём месте выбирают точки и строят треугольник, похожий на треугольник с искомым отрезком. Подобие можно обеспечить, например, проведением параллельных линий или построением равных углов. Тогда измеряемые стороны доступного треугольника соответствуют сторонам исходного, включая неизвестную. Записав отношение соответствующих сторон, находят искомую длину.

Стороны выбирают не по тому, как они расположены на чертеже, а по равным углам и порядку вершин. Это нужно, потому что даже в похожих по виду треугольниках соответствие может быть другим. Измерения также должны относиться к одной и той же ситуации: для теней важны одинаковое освещение и ровная поверхность, а для любого расчёта — единые единицы длины. Перед вычислением полезно подписать равные углы и отметить пары соответствующих сторон.

Практические способы измерения с помощью подобия

Сначала выбери способ, подходящий к ситуации, и выясни, какие длины можно измерить. Затем установи подобие и сопоставь стороны по равным углам. Таблица подсказывает, какие данные нужны и какое отношение следует использовать.

Разбор задач

Задача 1. Палка высотой 1,5 м отбрасывает тень длиной 2 м, а тень дерева равна 8 м. Нужно найти высоту дерева. Предположим, что измерения выполнены одновременно на ровной поверхности. Обозначим высоту дерева через H.

1. Палка и дерево вместе со своими тенями образуют прямоугольные треугольники. Угол направления солнечных лучей для них одинаков, значит, треугольники подобны.
2. Высота палки соответствует высоте дерева, а тень палки — тени дерева. Записываем пропорцию: 1,5/2 = H/8.
3. Находим неизвестное: H = 8 · 1,5/2 = 6 м. Ответ: высота дерева равна 6 м.

Задача 2. Наблюдатель видит верхушку дерева в зеркале, лежащем на земле. Обозначим высоту глаз через h, расстояние от зеркала до наблюдателя через d, а от зеркала до дерева через s. Требуется найти высоту дерева H, считая, что эти отрезки измерены в одинаковых единицах. Числовые значения не заданы, поэтому ответ выразим через обозначения.

1. Луч от верхушки дерева отражается в зеркале и попадает в глаз. Получаются треугольники с высотами H и h и основаниями s и d.
2. У обоих треугольников есть прямой угол с землёй. Углы при зеркале равны, поэтому треугольники подобны по двум углам.
3. Сопоставляем высоту дерева с высотой глаз, а расстояние до дерева — с расстоянием до наблюдателя: H/s = h/d.
4. Выражаем неизвестную: H = hs/d. Ответ: высота дерева равна hs/d.

Задача 3. Нужно определить ширину реки, не переходя на другой берег. На своём берегу строят доступный треугольник, подобный треугольнику с шириной реки, измеряют его стороны и известную соответствующую сторону. Пусть ширина реки равна x, соответствующая ей сторона построенного треугольника — a, а другая пара соответствующих сторон имеет длины b и c.

1. Сначала по построению или равным углам устанавливаем, что треугольники подобны. Сторона x должна соответствовать стороне a, а b — c.
2. Записываем пропорцию в неизменном порядке: x/a = b/c. Такое сопоставление позволяет использовать именно те длины, которые соответствуют друг другу.
3. Выражаем неизвестную: x = ab/c. Ответ: ширина реки равна ab/c; после подстановки измеренных значений получим её числовую величину.

Типичные ошибки

• Сравнивают стороны, которые не соответствуют друг другу. Так бывает, если при записи пропорции не отметить равные углы и порядок вершин. Проверь себя: сторона напротив одного угла должна соответствовать стороне напротив равного ему угла.

• Меняют местами числители и знаменатели в одной части пропорции. Ошибка возникает, когда пары сторон записывают в разном порядке. Проверь, что в обеих дробях сначала стоят соответствующие стороны одного треугольника, а затем — другого.

• Применяют метод теней при измерениях, сделанных в разное время или на неровной поверхности. Тогда направление лучей или условия образования треугольников могут различаться, и подобие не будет обосновано. Проверь, что обе тени измерены одновременно на ровном участке.

• Подставляют в вычисление длины в разных единицах, например метры и сантиметры. Из-за этого результат получается неверным, даже если пропорция составлена правильно. Перед расчётом переведи все величины в одну единицу и проверь единицу ответа.

Связь с другими темами

Для практических измерений нужно знать признаки подобия треугольников и свойство пропорциональности их соответствующих сторон. Также пригодятся умения измерять отрезки, строить чертёж и составлять пропорции. Те же идеи применяют в геодезии — измерении местности, в картографии и при работе с масштабом. В этих случаях по доступным данным определяют реальные расстояния и размеры объектов.

Что запомнить

• Подобие позволяет находить длины, которые нельзя измерить непосредственно.
• Сначала нужно установить подобие треугольников, затем записывать пропорцию.
• В пропорции должны стоять соответствующие стороны.
• При методе теней сравнивают высоты предметов и длины их теней.
• При методе зеркала подобие обосновывают равенством углов.
• Все измерения в вычислениях должны быть выражены в одинаковых единицах.