"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Если из вершины прямого угла опустить высоту на гипотенузу, она разделит прямоугольный треугольник на два меньших. Эти треугольники подобны исходному, поэтому длины катетов, высоты и частей гипотенузы связаны простыми равенствами. Квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета, а квадрат высоты — произведению частей гипотенузы. Эти соотношения помогают находить неизвестные стороны без построения новых фигур.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Высота к гипотенузе — перпендикуляр, проведённый из вершины прямого угла к гипотенузе. В треугольнике ABC с прямым углом C обозначим эту высоту CH, а её основание — точкой H на AB. Высота нужна, чтобы разделить треугольник на части и сравнить их по подобию.
Проекция катета на гипотенузу — отрезок гипотенузы, на который опускается соответствующий катет. При высоте CH проекциями AC и BC служат AH и HB. Это обозначение помогает понять, какая часть гипотенузы связана с каждым катетом.
Среднее пропорциональное двух отрезков — отрезок, квадрат длины которого равен произведению длин этих отрезков. Если его длина равна x, а длины данных отрезков — m и n, то x² = mn. Так можно назвать, например, высоту CH между частями гипотенузы AH и HB.
Пропорциональными отрезками в прямоугольном треугольнике называют катеты, высоту к гипотенузе и части гипотенузы, длины которых связаны равенствами квадратов и произведений. Например, квадрат катета AC связан с AB и AH. Такие соотношения позволяют находить неизвестные длины, даже если на чертеже они не заданы напрямую.
Проведём высоту CH из вершины C к гипотенузе AB. Получатся два треугольника ACH и BCH, причём каждый вместе с исходным ABC имеет прямой угол. У треугольника ABC и ACH совпадает угол A, а два других угла равны как дополнительные к одному и тому же углу. Поэтому ABC и ACH подобны по двум углам; аналогично подобны ABC и BCH. Малые треугольники также подобны друг другу, потому что у них равны прямые углы и оставшиеся острые углы.
Из подобия ABC и ACH следует, что соответствующие стороны относятся одинаково. Катет AC соответствует гипотенузе AB исходного треугольника, а отрезок AH — катету AC малого треугольника. Поэтому AC / AB = AH / AC. Перемножив крайние и средние члены пропорции, получаем AC² = AB · AH. Здесь участвует именно AH, потому что он лежит напротив угла A, общего для треугольников.
Для второго катета рассуждение такое же, но нужно рассматривать подобные ABC и BCH. Катет BC соответствует гипотенузе AB, а его проекция HB — отрезку BC в малом треугольнике. Из равенства отношений BC / AB = HB / BC после перемножения получается BC² = AB · HB. Значит, в формулу всегда входит часть гипотенузы, прилегающая к вершине данного катета.
Теперь сравним треугольники ACH и BCH, которые тоже подобны. Отношение соответствующих катетов можно записать как AH / CH = CH / HB. После перемножения получаем CH² = AH · HB. Это означает, что высота CH — среднее пропорциональное между двумя частями гипотенузы: её квадрат равен произведению этих частей.
Чтобы найти неизвестный отрезок, выбери равенство с этим отрезком и подставь известные длины. Если неизвестен отрезок-множитель, раздели произведение на известный множитель; если неизвестна длина, квадрат которой задан, извлеки корень. Из двух значений уравнения x² = a выбирай положительное, поскольку речь идёт о длине. Затем проверь, что части гипотенузы складываются в AB и что каждый катет связан со своей проекцией.
| Отрезок, квадрат которого рассматриваем | Связанные отрезки | Равенство |
|---|---|---|
| Катет AC | Гипотенуза AB и проекция AH | AC² = AB · AH |
| Катет BC | Гипотенуза AB и проекция HB | BC² = AB · HB |
| Высота CH к гипотенузе | Части гипотенузы AH и HB | CH² = AH · HB |
Сначала найди в таблице отрезок, длину которого требуется определить, и выбери соответствующую строку. Проверь, что используешь его собственную проекцию, а не соседнюю часть гипотенузы. Если известны три отрезка из равенства, неизвестный можно найти делением или извлечением корня.
В треугольнике ABC угол C прямой, CH делит AB на AH = 4 см и HB = 9 см. Требуется найти CH. Для высоты подходит равенство CH² = AH · HB, потому что её квадрат равен произведению частей гипотенузы.
Ответ: CH = 6 см. Проверка показывает, что 6² = 4 · 9, значит, найденная высота удовлетворяет нужному соотношению.
Гипотенуза AB равна 25 см, проекция катета AC — отрезок AH длиной 9 см. Нужно найти AC. Используем связь AC² = AB · AH, поскольку AH является проекцией именно катета AC.
Ответ: AC = 15 см. Проверка: 15² = 225 и 25 · 9 = 225; кроме того, найденный катет меньше гипотенузы.
Высота CH к гипотенузе AB делит её на AH и HB; даны CH = 12 см и AH = 9 см. Требуется найти HB, AB и оба катета. Удобно начать с равенства для высоты, потому что оно содержит HB и известные CH и AH.
Ответ: HB = 16 см, AB = 25 см, AC = 15 см, BC = 20 см. Проверка по теореме Пифагора: 15² + 20² = 225 + 400 = 625 = 25².
Иногда AH или HB принимают за катет. Так происходит потому, что все эти отрезки соседствуют на чертеже, но AH и HB — части гипотенузы AB, а не стороны исходного треугольника. Проверь обозначения: катеты идут от C к A и B, а проекции лежат на прямой AB.
В формуле для катета могут перепутать проекции и подставить не тот отрезок. Например, для AC берут HB, хотя его проекция — AH; ошибка возникает, если не проследить, к какой вершине прилегает часть гипотенузы. Перед вычислениями запиши соответствия AC — AH и BC — HB.
Ещё одна ошибка — забыть квадрат длины и написать, например, CH = AH · HB. Обычно так получается из-за невнимательного переноса формулы или попытки сразу подставить числа. Сверь размерности: произведение двух длин даёт квадратные единицы, поэтому оно должно равняться квадрату отрезка.
При извлечении корня иногда оставляют отрицательный ответ или не проверяют расположение частей гипотенузы. Отрицательное число не может быть длиной, а сумма AH и HB должна давать AB. Выбирай положительное значение и проверяй, что все найденные отрезки соответствуют условию и геометрии чертежа.
Для вывода формул нужно знать признаки подобия треугольников и уметь составлять пропорции для их соответствующих сторон. Если пропорции пока составлять трудно, сначала определи равные углы и отметь, какие стороны им соответствуют. Это помогает не перепутать отрезки в равенствах.
Также понадобятся свойства прямоугольного треугольника, понятие высоты и умение находить неизвестный множитель по произведению. Например, из CH² = AH · HB можно найти HB делением CH² на AH. Такой порядок действий связывает геометрическую формулу с обычным решением уравнения.
Эти равенства пригодятся в задачах на метрические соотношения в прямоугольном треугольнике — то есть на связи между длинами его сторон и отрезков. Позже они помогут разбираться в тригонометрических соотношениях и вычислениях с прямоугольными треугольниками. Поэтому полезно запомнить не только формулы, но и способ их получения через подобие.
Что называют проекцией катета на гипотенузу?
Это часть гипотенузы, ограниченная вершиной прямого угла и основанием высоты из неё. Если высота CH опущена на AB, проекции катетов AC и BC — отрезки AH и HB соответственно.
Почему после проведения высоты получаются подобные треугольники?
В каждом из двух малых треугольников есть прямой угол, как и в исходном. Кроме того, у малого и исходного треугольников совпадает ещё один острый угол. Значит, треугольники подобны по двум углам.
Как определить, какой отрезок гипотенузы подставлять в формулу для катета?
Нужно взять проекцию именно этого катета: катету AC соответствует AH, а катету BC — HB. Поэтому AC² = AB · AH, а BC² = AB · HB.
Как найти высоту к гипотенузе, если известны два отрезка гипотенузы?
Перемножьте длины частей гипотенузы: CH² = AH · HB. Затем извлеките квадратный корень и возьмите положительное значение, потому что длина не бывает отрицательной.
Можно ли применять эти равенства, если высота совпадает с одним из катетов?
В невырожденном прямоугольном треугольнике высота из вершины прямого угла перпендикулярна гипотенузе и не совпадает с катетом. Если речь идёт о вырожденном или иначе заданном чертеже, сначала нужно проверить, действительно ли перед нами прямоугольный треугольник и где находится основание высоты.
63. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
