99. Центральное подобие

Определения и обозначения

Центральное подобие — преобразование плоскости с центром O и ненулевым коэффициентом k, при котором каждой точке X соответствует точка X′ на прямой OX и OX′ = |k|·OX. При k < 0 точки X и X′ лежат по разные стороны от O. Это определение позволяет одновременно описать направление перемещения и изменение расстояния.

Центр подобия — неподвижная точка O, относительно которой располагаются исходная точка и её образ. Она задаёт прямые, на которых строятся пары точек X и X′. Центр нужен, чтобы однозначно определить положение образа каждой точки.

Коэффициент центрального подобия — число k, задающее направление и масштаб преобразования. Его знак определяет, на каком луче находится X′, а модуль |k| показывает, во сколько раз меняется расстояние до центра. Поэтому при вычислениях длины используют модуль, а при построении учитывают знак.

Подобные фигуры при центральном подобии — исходная фигура и её образ, у которых соответствующие длины относятся как |k|, а соответствующие углы равны. Это помогает переносить результаты о подобии на преобразованные фигуры. Например, по масштабу сторон можно найти периметр или площадь образа.

Как это устроено

Чтобы построить образ точки X, сначала проводят прямую OX: образ обязан лежать именно на ней. Если k положительно, выбирают луч из O, на котором находится X, и откладывают на нём расстояние |k|·OX. Если k отрицательно, выбирают противоположный луч, потому что знак означает смену направления относительно центра. Так построение разделяется на два простых действия: выбрать сторону по знаку и определить расстояние по модулю.

Выберем центр O за начало координат и будем считать положение точки её радиус-вектором. Тогда формула преобразования имеет вид OX′ = k·OX: при положительном k вектор сохраняет направление, а при отрицательном меняет его на противоположное. Длина вектора не может быть отрицательной, поэтому из этой записи следует OX′ = |k|·OX. Именно поэтому знак управляет расположением точки, но не может означать отрицательную длину.

Рассмотрим отрезок AB и его образ A′B′. В векторной записи разность радиус-векторов концов после преобразования равна k·(OB − OA), поэтому длина образа равна |k|·AB. Следовательно, любой отрезок увеличивается или уменьшается в одном и том же масштабе, независимо от его положения. Прямую, не проходящую через центр, преобразование переводит в параллельную ей прямую: общий множитель k сохраняет направление, а положение линии меняется.

Так как все стороны фигуры изменяются в одинаковое число раз, отношения соответствующих сторон сохраняются. Углы тоже не меняются: умножение векторов на один и тот же коэффициент сохраняет угол между ними, даже если направление обоих векторов обращается. Поэтому многоугольник переходит в подобный ему, а его периметр умножается на |k|. Площадь меняется в k² раз, поскольку при увеличении обеих сторон в |k| раз площадь получает множитель |k|·|k|.

Значения коэффициента показывают, что преобразование может быть и частным случаем. При k = 1 каждая точка остаётся на прежнем месте: сохраняются и направление, и расстояние до центра. При k = −1 расстояния также не меняются, но направление каждого радиус-вектора обращается, поэтому получается центральная симметрия с центром O. Нуль не допускается: при k = 0 образами всех точек стал бы один и тот же центр, а фигуры перестали бы сохранять свои размеры.

Что происходит с фигурами при центральном подобии

Сначала определите, какой объект преобразуется, затем найдите соответствующую строку. Для длин и периметра используйте |k|, для площади — k², а для положения точки учитывайте знак k. Таблица не означает, что центр и все остальные точки ведут себя одинаково: центр остаётся неподвижным, а для точки важно расстояние до него.

Разбор задач

Задача 1. Центральное подобие с центром O и коэффициентом 2 переводит точку A, для которой OA = 3 см. Найдите расстояние от O до образа A′ и укажите, на каком луче он расположен. Коэффициент положительный, поэтому образ будет на том же луче, что и A. Расстояние найдём по модулю коэффициента.

1. Записываем данные: k = 2, OA = 3 см.
2. Находим расстояние: OA′ = |2|·3 = 6 см.
3. Поскольку k > 0, точка A′ лежит на луче OA.

Ответ: OA′ = 6 см, точка A′ расположена на луче OA. Проверка: образ дальше от центра, потому что масштаб больше единицы.

Задача 2. Точки A и A′ лежат по разные стороны от O, причём OA′ = 1,5·OA. Найдите коэффициент и образ точки B, если B лежит на луче OA и OB = 4 см. Сначала по расположению определим знак, затем используем отношение расстояний для модуля коэффициента. Точка B находится на том же исходном луче, что и A, поэтому её образ при отрицательном коэффициенте окажется на противоположном.

1. Разные стороны от центра означают k < 0.
2. Из отношения OA′ = 1,5·OA получаем |k| = 1,5, значит k = −1,5.
3. Вычисляем расстояние до образа B′: OB′ = |−1,5|·4 = 6 см.
4. Из-за отрицательного знака B′ лежит на луче, противоположном лучу OA.

Ответ: k = −1,5; OB′ = 6 см, образ расположен на противоположном луче. Один и тот же модуль коэффициента применяется к любой точке плоскости.

Задача 3. Треугольник ABC переходит в A′B′C′ при коэффициенте −3. Даны AB = 4 см, BC = 5 см, AC = 6 см, площадь ABC равна 10 см². Отрицательный знак влияет на расположение вершин относительно центра, но длины рассчитываются по модулю коэффициента. Для площади берём квадрат масштаба, а равенство углов следует из сохранения углов центральным подобием.

1. Масштаб длин равен |−3| = 3.
2. Стороны образа: A′B′ = 3·4 = 12 см, B′C′ = 3·5 = 15 см, A′C′ = 3·6 = 18 см.
3. Площадь образа: 3²·10 = 90 см².
4. Углы соответствующих треугольников равны, потому что преобразование сохраняет угол между соответствующими направлениями.

Ответ: стороны образа равны 12 см, 15 см и 18 см; площадь равна 90 см². Треугольники подобны, а соответствующие углы равны.

Типичные ошибки

Умножать расстояние на k без учёта знака. Так можно получить отрицательное значение длины, хотя расстояние всегда неотрицательно. Ошибка возникает из-за смешения масштаба и направления. Проверяйте себя: для длины используйте |k|, а знак оставляйте для определения положения образа.

При отрицательном коэффициенте помещать образ на тот же луч. Это противоречит смыслу отрицательного знака, который меняет направление радиус-вектора. Обычно путают знак с уменьшением расстояния. Проведите прямую через O и X и убедитесь, что образ при k < 0 находится на противоположном луче.

Изменять площадь в |k| раз. В таком случае применён масштаб длин вместо масштаба площади, хотя площадь зависит от двух измерений. Ошибка особенно заметна при увеличении фигуры: стороны растут в |k| раз каждая. Для проверки возведите |k| в квадрат: площадь умножается на k².

Допускать коэффициент k = 0. Если умножить радиус-вектор любой точки на нуль, все точки перейдут в O и фигура схлопнется. Такое преобразование не сохраняет подобные фигуры и не является центральным подобием. Проверяйте условие: коэффициент должен быть ненулевым.

Связь с другими темами

Для построения образов нужны понятия прямой, луча и расстояния между точками, а векторная запись опирается на тему векторов. Центральная симметрия — частный случай центрального подобия при k = −1. Позже это преобразование пригодится при изучении подобных треугольников и масштабирования фигур. Оно также помогает решать задачи, где по коэффициенту требуется найти отношение длин, периметров или площадей.

Что запомнить

• Центральное подобие задаётся центром O и ненулевым коэффициентом k.
• Точка и её образ лежат на одной прямой с центром.
• При k > 0 образ лежит на том же луче, при k < 0 — на противоположном.
• Длины умножаются на |k|, площади — на k².
• Соответствующие углы сохраняются.
• При k = 1 получается тождественное преобразование, при k = −1 — центральная симметрия.