98. Движения

Определения и обозначения

Преобразование плоскости — соответствие, при котором каждой точке плоскости ставится в соответствие определённая точка той же плоскости. Например, при параллельном переносе каждая точка сдвигается на один и тот же вектор. Фигура после преобразования состоит из образов всех её точек.

Движение — преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между любыми двумя точками. Если A и B переходят в A′ и B′, то AB = A′B′. Это условие отличает движение от произвольного изменения фигуры.

Образ фигуры — фигура, составленная из образов всех точек исходной фигуры. Точку до преобразования обозначают, например, A, а её образ — A′; для фигуры ABC образ обычно записывают A′B′C′. Такое обозначение помогает правильно сопоставлять вершины, стороны и углы.

Равные фигуры — фигуры, которые можно совместить движением. У них совпадают форма и размеры, потому что движение сохраняет расстояния и углы. Значит, равенство фигур можно понимать как возможность наложить одну фигуру на другую.

Как это устроено

Преобразование плоскости задаёт правило перехода от каждой точки к её образу. Например, при осевой симметрии точка A переходит в точку A′ так, что ось симметрии является серединным перпендикуляром к AA′. Поэтому преобразуется не только отдельный отрезок: у каждой точки фигуры появляется свой образ, и из этих образов складывается новая фигура.

Главный признак движения — сохранение расстояний между любой парой точек, а не только длины одного отрезка. Если проверить лишь один отрезок, можно не заметить, что другие части фигуры растянулись или исказились. Требование для всех пар точек гарантирует сохранение взаимного расположения всех элементов фигуры.

Из равенства расстояний следует сохранение длин отрезков. Угол можно рассматривать как часть треугольника: при движении три его стороны сохраняют длины, поэтому образовавшийся треугольник равен исходному и его углы равны исходным. Так сохраняются форма и размеры любого многоугольника, ведь он определяется своими вершинами и расстояниями между ними.

Прямая при движении переходит в прямую, а отрезок — в отрезок, соединяющий образы его концов. Образ отрезка AB имеет концы A′ и B′, поэтому его длина равна A′B′ = AB. Осевая и центральная симметрии, поворот и параллельный перенос являются движениями, поскольку в каждом случае расстояние между любыми двумя точками остаётся прежним.

Что сохраняется при движении

Пользуясь таблицей, сначала найдите в условии исходный объект и его образ. Затем выберите сохранённое свойство, которое прямо связано с известными данными. Например, для длины отрезка достаточно сопоставить его концы, а для угла — соответствующие стороны.

Разбор задач

Задача 1

Точки A и B при движении переходят в A′ и B′. Известно, что AB = 7 см. Требуется определить длину A′B′. Образ каждой точки уже указан, поэтому нужно сопоставить именно эти две пары точек.

1. По определению движения расстояние между любыми двумя точками сохраняется.
2. Для пары A и B записываем AB = A′B′.
3. Подставляем AB = 7 см и получаем A′B′ = 7 см.

Ответ: A′B′ = 7 см.

Задача 2

Треугольник ABC переходит в треугольник A′B′C′, причём AB = 6 см, BC = 8 см, CA = 5 см, а B′C′ обозначено буквой x. Нужно найти неизвестную сторону образованного треугольника. Вершины сопоставляются по записи: B соответствует B′, а C — C′.

1. При движении соответствующие расстояния равны.
2. Стороне BC соответствует сторона B′C′, поэтому BC = B′C′.
3. Подставляем известное значение: 8 = x.

Ответ: B′C′ = x = 8 см.

Задача 3

Треугольник ABC при движении переходит в A′B′C′. Его углы равны 50°, 60° и 70° соответственно. Требуется объяснить, почему треугольники равны, и определить углы образа. Достаточно установить сохранение сторон и углов, а затем перенести значения на соответствующие вершины.

1. Расстояния между соответствующими вершинами сохраняются, значит, соответствующие стороны треугольников равны.
2. По трём равным сторонам треугольники ABC и A′B′C′ равны.
3. При движении углы не меняются: ∠A′ = 50°, ∠B′ = 60°, ∠C′ = 70°.

Ответ: образ треугольника равен исходному; его углы равны 50°, 60° и 70°.

Типичные ошибки

Считать движением любое перемещение фигуры на рисунке — ошибка. Преобразование должно задавать соответствие точек и сохранять расстояния, а не просто выглядеть как сдвиг. Проверьте, можно ли для каждой точки однозначно указать образ и выполняется ли равенство расстояний.

Проверять сохранение только одной длины недостаточно. Один отрезок может сохранить длину, пока остальные части фигуры изменяются. Для проверки движения нужно учитывать произвольную пару точек, а не только удобную.

Точку и её образ иногда путают, например сравнивают AB с A′C′ вместо A′B′. Такая ошибка возникает из-за неверного соответствия вершин. Перед решением выпишите пары A—A′, B—B′, C—C′ и только потом сравнивайте стороны и углы.

Движение не обязано менять положение фигуры. При повороте вокруг неподвижной точки или при симметрии некоторые точки могут остаться на месте, а тождественное преобразование оставляет всю фигуру неизменной. Проверяйте не факт перемещения, а сохранение расстояний.

Связь с другими темами

До изучения движений нужно уметь находить расстояние между точками, длину отрезка и величину угла. Также понадобится понятие равенства геометрических фигур, потому что движение объясняет, почему совпадающие при наложении фигуры имеют одинаковые размеры.

Движения объединяют несколько знакомых преобразований: осевую и центральную симметрии, поворот и параллельный перенос. Их удобно изучать как отдельные способы перемещения точек, сохраняющие общее свойство — расстояния.

Идея сохранения расстояний используется при доказательстве равенства фигур и решении задач на преобразования. Если удаётся установить соответствие точек и сохранение расстояний, многие свойства образа находятся без дополнительных измерений.

Что запомнить

• Движение — преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между любыми двумя точками.
• При движении образ каждой точки однозначно определяется преобразованием.
• Длина отрезка при движении не меняется.
• Величины углов при движении сохраняются.
• Образ фигуры при движении равен исходной фигуре.
• Симметрии, поворот и параллельный перенос являются примерами движений.