§ 8. Движения

Определения и обозначения

Движение — отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния между любыми двумя точками. Это означает, что для точек A и B и их образов A₁ и B₁ выполняется AB = A₁B₁. Определение позволяет проверить, действительно ли преобразование сохраняет размеры фигур, а не просто выглядит как перемещение на рисунке.

Осевая симметрия — преобразование относительно прямой, которая является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точку с её образом. Иными словами, ось пересекает этот отрезок под прямым углом и делит его пополам. Это определение нужно для точного построения отражённой точки; точки самой оси при таком преобразовании не меняются.

Центральная симметрия — преобразование относительно точки, которая служит серединой отрезка между исходной точкой и её образом. Центр лежит на прямой, соединяющей эти точки, и находится от них на одинаковом расстоянии. По этому правилу можно построить образ циркулем и линейкой и отличить центральную симметрию от осевой.

Поворот задают центром и углом, на который поворачивают каждую точку; параллельный перенос задают направлением и вектором смещения. При повороте сохраняется расстояние до центра, а при переносе все точки смещаются одинаково. Эти способы задания помогают однозначно определить, куда попадёт каждая точка фигуры.

Как это устроено

Расстояние между любой парой точек определяет, как точки расположены друг относительно друга. Поэтому, если все такие расстояния сохраняются, три точки, образующие треугольник, дают треугольник с теми же сторонами. Равные соответствующие стороны означают равенство треугольников, откуда следуют равенство углов и сохранение формы. Прямую можно рассматривать как множество точек, а расстояния внутри этого множества также остаются прежними, поэтому её образ снова является прямой.

Образ фигуры получают так: для каждой её точки находят соответствующую точку после преобразования. Фигура может содержать бесконечно много точек, но для многоугольника достаточно построить образы вершин: движение переводит его стороны в равные отрезки, соединяющие новые вершины. Затем эти вершины соединяют в том же порядке. В других задачах достаточно образов тех точек, которые однозначно задают нужную фигуру, например центра и радиуса окружности.

При осевой симметрии через точку проводят перпендикуляр к оси и откладывают за осью такое же расстояние; основание перпендикуляра остаётся серединой отрезка между точкой и образом. Сама ось состоит из неподвижных точек, потому что расстояние от них до оси равно нулю. При центральной симметрии проводят прямую через точку и центр, а затем откладывают за центром равный отрезок. Здесь неподвижна только центральная точка: именно она совпадает со своим образом.

При повороте каждая точка движется по окружности с центром в центре поворота: радиус этой окружности равен расстоянию от точки до центра. Чтобы найти образ, сохраняют этот радиус и откладывают заданный угол в указанном направлении; центр остаётся на месте. При параллельном переносе к каждой точке прибавляют один и тот же вектор, поэтому отрезки между точками не меняют длину и направление. Ненулевой перенос не оставляет неподвижных точек, так как каждая точка смещается на ненулевое расстояние.

Если выполнить сначала одно движение, а затем другое, расстояние между образами любых двух точек всё равно сохранится: на каждом шаге оно не меняется. Значит, последовательность движений сама является движением, хотя её итоговый вид не всегда совпадает с одним из простых преобразований, названных выше. Например, отражение и перенос вдоль оси отражения могут дать скользящую симметрию. Для сложной фигуры удобно выполнять преобразования по очереди, каждый раз отмечая новые образы определяющих точек.

Виды движений и их основные признаки

Сначала смотри на способ задания преобразования, затем — на его неподвижные точки: это помогает различить виды движений. Для построения образа используй соответствующий столбец и проверь, что расстояния и углы не изменились. У произвольного движения вид его правила может быть сложнее, чем у перечисленных частных случаев.

Разбор задач

1. Определить осевую симметрию

Условие. Даны прямая l и точки A и A₁, изображённые по разные стороны от неё. Нужно определить, является ли переход A в A₁ осевой симметрией с осью l. Для этого важно проверить не только то, что точки находятся по разные стороны, но и точное положение отрезка между ними.

1. Опусти из A и A₁ перпендикуляры на l. Если их основания разные, отрезок AA₁ не перпендикулярен l, и условие осевой симметрии не выполнено.
2. Если основания совпали, обозначь общее основание H и сравни AH и HA₁. Ось должна проходить через середину AA₁, поэтому эти расстояния равны.
3. Когда AA₁ перпендикулярен l и AH = HA₁, прямая l является серединным перпендикуляром к AA₁. Это в точности определение осевой симметрии.

Ответ. Переход является осевой симметрией тогда и только тогда, когда l перпендикулярна AA₁ и делит его пополам. Если хотя бы одно условие не соблюдено, заданная прямая не является осью этого перехода.

2. Построить образ треугольника при повороте

Условие. Построй образ треугольника ABC при повороте вокруг точки O на заданный угол α и докажи равенство исходного и полученного треугольников. Необходимо правильно учесть и расстояния до центра, и направление поворота. Поворот всех трёх вершин на один угол задаёт образ всего треугольника.

1. Проведи лучи OA, OB и OC. Для точки A построй луч, полученный поворотом OA на угол α в заданном направлении, и отметь на нём A₁ так, чтобы OA₁ = OA.
2. Аналогично построй B₁ и C₁: выполняй поворот на тот же угол и сохраняй равенства OB₁ = OB, OC₁ = OC. Соедини A₁, B₁ и C₁ в исходном порядке.
3. Поворот сохраняет расстояния между точками. Значит, A₁B₁ = AB, B₁C₁ = BC и C₁A₁ = CA; треугольники равны по трём сторонам.

Ответ. Искомый образ — треугольник A₁B₁C₁, построенный по трём повёрнутым вершинам. Он равен ABC, потому что поворот сохраняет все расстояния между вершинами.

3. Выполнить два преобразования по очереди

Условие. Фигура получена сначала осевой симметрией относительно прямой l, затем параллельным переносом на вектор v. Нужно найти образ заданной точки P и определить итоговое преобразование. Из одного названия последовательности нельзя сразу сделать вывод о её виде: значение имеет направление вектора относительно оси.

1. Построй P₁ — отражение точки P относительно l: опусти перпендикуляр и отложи равное расстояние за осью.
2. От P₁ отложи вектор v; его конец P₂ и будет искомым образом P. Тот же порядок действий выполни для ещё нескольких точек фигуры, чтобы проследить действие преобразования.
3. Если вектор переноса параллелен l, итог можно описать как скользящую симметрию: отражение относительно l с последующим сдвигом вдоль неё. При другом направлении вектора вид итогового движения может быть иным, поэтому его определяют по построенным образам и взаимному расположению точек.

Ответ. Образ точки — P₂, полученный отражением P в P₁ и переносом P₁ на вектор v. Итоговое преобразование в общем случае нужно уточнить по направлению переноса; при переносе вдоль оси это скользящая симметрия.

Типичные ошибки

Считать движением любое видимое перемещение. Так можно назвать движением и деформацию, хотя при ней расстояния меняются. Ошибку допускают, опираясь на внешний вид рисунка, а не на определение. Проверь несколько пар точек: расстояния до и после преобразования должны совпадать.

Строить осевую симметрию без перпендикулярности или деления пополам. Если соединяющий точку с образом отрезок не перпендикулярен оси или ось не проходит через его середину, построена не отражённая точка. Часто ученики выполняют только одно из двух условий. Проверь и прямой угол, и равенство отрезков по обе стороны оси.

Путать центральную симметрию с осевой. Центр — точка, а не прямая; он должен быть серединой отрезка между точкой и её образом. Путаница возникает из-за слова «симметрия» в названиях обоих преобразований. Чтобы проверить построение, найди середину соединяющего отрезка и убедись, что она совпадает с центром.

При повороте учитывать радиус, но забывать угол или направление. Одинаковое расстояние до центра само по себе не задаёт образ: точка может оказаться на любом месте соответствующей окружности. Ошибка появляется, если поворачивать каждую вершину на свой угол или в противоположную сторону. Отмечай единое значение угла и сверяйся с указанным направлением поворота.

Связь с другими темами

Для изучения движений нужны понятия равных фигур, перпендикуляра и середины отрезка, а также навыки построения циркулем и линейкой. Координаты и векторы дают удобный язык для записи переносов и симметрий, а поворот можно описывать через координаты точек. Движения помогают доказывать равенство фигур и геометрические свойства, а также служат основой для изучения преобразований и подобия. Позже эти идеи используются в координатных методах и при анализе сложных фигур.

Что запомнить

• Движение сохраняет расстояния между любыми двумя точками.
• При движении сохраняются форма и размеры фигуры.
• Ось осевой симметрии состоит из неподвижных точек.
• Центр центральной симметрии является серединой отрезка между точкой и её образом.
• Поворот сохраняет расстояние до центра и изменяет направление на заданный угол.
• Параллельный перенос перемещает все точки на один и тот же вектор.
• Последовательное выполнение движений снова даёт движение.