8.1. Определение и простейшие свойства движений

Определения и обозначения

Преобразование плоскости — соответствие, при котором каждой точке плоскости ставится в соответствие определённая точка той же плоскости. Исходная фигура при этом переходит в фигуру, составленную из образов всех её точек. Так описывают перемещение или изменение положения геометрических объектов.

Образ точки — точка, в которую переходит данная точка при преобразовании. Если точка A переходит в A′, то A называют исходной точкой, а A′ — её образом; штрих показывает результат преобразования. Такое обозначение помогает не путать начальное положение точки с новым.

Движение плоскости — преобразование, сохраняющее расстояния между любыми двумя точками. Если A переходит в A′, а B — в B′, то A′B′ = AB. Благодаря этому условию движение не растягивает и не сжимает фигуры.

Равные фигуры — фигуры, которые можно совместить движением. Они могут находиться в разных местах и быть по-разному повёрнуты, но совпадают по форме и размерам. Это определение позволяет говорить о равенстве не только треугольников, но и других фигур.

Как это устроено

Преобразование действует на точки: каждой точке исходной фигуры назначается её образ. Если собрать образы всех точек фигуры, получится её образ при преобразовании. Так, отрезок AB переходит в отрезок A′B′, если концам A и B соответствуют точки A′ и B′, а точкам между концами — точки образа отрезка.

Расстояние между концами отрезка — это его длина. Движение сохраняет расстояние между любой парой точек, поэтому оно сохраняет и расстояние между концами каждого отрезка. Значит, длина отрезка и длина его образа равны. Условие для любых точек нужно именно затем, чтобы оно относилось ко всем отрезкам, а не только к некоторым.

Возьмём треугольник ABC и его образ A′B′C′. По определению движения A′B′ = AB, B′C′ = BC и C′A′ = CA, потому что равны расстояния между образами каждой пары вершин и исходными вершинами. Следовательно, треугольники равны по трём сторонам. У равных треугольников соответствующие углы равны, поэтому движение сохраняет и величины углов.

Если три точки лежат на одной прямой, расстояние между крайними из них равно сумме расстояний до средней точки. После движения все эти расстояния сохраняются, поэтому образы точек также лежат на одной прямой; значит, прямая переходит в прямую. Точка, принадлежавшая прямой, переходит в точку её образа, так что сохраняется принадлежность точки прямой. Параллельные прямые при движении также остаются параллельными: их образы — прямые, сохраняющие взаимное направление и не пересекающиеся.

Поскольку длины отрезков и величины углов фигуры сохраняются, её образ имеет те же размеры и форму. Положение может измениться, но фигуры можно совместить движением. Поэтому образ фигуры при движении равен исходной фигуре.

Что сохраняет движение

В таблице удобно прослеживать цепочку: какое свойство сохраняется и что из этого следует. Например, равенство расстояний сразу даёт равенство длин соответствующих отрезков. При разборе фигуры проверяйте не её положение, а сохранение размеров и формы.

Разбор задач

Задача 1. Преобразование переводит точки A и B в точки A′ и B′. Известно, что AB = A′B′. Достаточно ли этого, чтобы утверждать, что преобразование — движение?

1. По определению движение сохраняет расстояние между любой парой точек плоскости.
2. Равенство AB = A′B′ подтверждает сохранение расстояния только для одной пары — A и B.
3. О поведении остальных пар точек ничего не известно, поэтому условие определения не проверено.

Ответ: нет, одного равенства для пары точек недостаточно.

Задача 2. При движении отрезок AB переходит в A′B′. Докажите, что длины этих отрезков равны.

1. Отрезок задаётся двумя концами, поэтому рассматриваем точки A и B и их образы A′ и B′.
2. По определению движения расстояние между образами равно расстоянию между исходными точками: A′B′ = AB.
3. Длины отрезков AB и A′B′ как раз равны соответствующим расстояниям между концами.

Ответ: AB = A′B′, то есть длины отрезка и его образа равны.

Задача 3. При движении треугольник ABC переходит в A′B′C′. Докажите, что треугольники равны и соответствующие углы равны.

1. Применим определение движения к каждой паре вершин: A′B′ = AB, B′C′ = BC и C′A′ = CA.
2. У треугольников равны все три пары соответствующих сторон, значит, треугольники равны по третьему признаку.
3. У равных треугольников соответствующие углы равны, поэтому ∠A = ∠A′, ∠B = ∠B′ и ∠C = ∠C′.

Ответ: треугольники равны по трём сторонам, а их соответствующие углы равны.

Типичные ошибки

Неверно называть движением преобразование, которое сохраняет расстояние только для некоторых пар точек. Так ошибаются, проверив один-два отрезка и приняв частный результат за общее правило. Сверяйтесь с определением: требуется равенство расстояний для любых двух точек плоскости.

Не путайте исходную точку и её образ: в записи A → A′ исходная точка — A, а результат — A′. Штрих иногда воспринимают как обозначение новой исходной точки, особенно если рассматривать преобразование в обратном направлении. Проверяйте, какая точка указана до стрелки и какая после неё.

Движение не обязано оставлять каждую точку на месте. Такое представление возникает из-за слова «сохраняет»: сохраняются расстояния, а не положения точек. Чтобы проверить себя, представьте перенос или поворот — фигура меняет место, но её размеры остаются прежними.

Одинакового внешнего вида на рисунке недостаточно, чтобы доказать равенство фигур. Рисунок может быть неточным, а совпадение формы на глаз не подтверждает равенство всех размеров. Обоснуйте вывод: покажите, что движение сохраняет длины и углы, а значит, образ фигуры можно совместить с исходной.

Связь с другими темами

Для работы с движениями нужны знакомые понятия: точка, прямая, отрезок, расстояние между точками и угол. Понадобится и равенство треугольников: сохранение расстояний между вершинами позволяет применить признак равенства треугольников, а затем сделать вывод о равенстве углов.

Движение лежит в основе изучения симметрий, поворота и параллельного переноса: каждое из этих преобразований сохраняет расстояния. Это понятие также помогает доказывать равенство фигур, даже если они расположены по-разному. Достаточно установить, что одну фигуру можно получить из другой движением.

Что запомнить

• Движение — преобразование плоскости, сохраняющее расстояние между любой парой точек.
• При движении длина каждого отрезка сохраняется.
• Образ прямой при движении является прямой.
• Движение сохраняет величины углов.
• При движении параллельные прямые переходят в параллельные.
• Образ фигуры при движении равен исходной фигуре.